Dê a condição de existência e, determine, em I R, o conjunto solução de cada uma das equações:
log_4(x+10) + log_4(x-5) = 2

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação juntos! O enunciado nos pede para encontrar os valores de que satisfazem a equação:
Primeiro, precisamos entender logaritmos, que é o conteúdo principal aqui. Também vamos precisar lembrar de algumas propriedades dos logaritmos para simplificar a equação. Antes de tudo, precisamos garantir as condições de existência dos logaritmos, ou seja, os argumentos dentro dos logaritmos têm que ser positivos.

Passo 2

Vamos começar definindo as condições de existência. Para e existirem, os argumentos devem ser maiores que zero:

Passo 3

Resolvendo as desigualdades:

Passo 4

A condição mais restritiva é . Portanto, a condição de existência da equação é que deve ser maior que 5.

Passo 5

Agora, vamos resolver a equação usando propriedades dos logaritmos. Uma propriedade útil é que a soma de logaritmos com a mesma base pode ser escrita como o logaritmo do produto dos argumentos:
Então, a equação fica:

Passo 6

Para resolver essa equação, vamos usar a definição do logaritmo. Se , então . Aplicando isso:

Passo 7

Calculando :

Passo 8

Vamos expandir o produto:

Passo 9

Vamos deixar a equação igual a zero:

Passo 10

Agora, temos uma equação quadrática. Vamos resolver usando a fórmula de Bhaskara:
Onde , e .

Passo 11

Calculando o discriminante ( ):

Passo 12

Calculando as raízes:
Então, temos duas soluções:

Passo 13

Agora, vamos verificar se as soluções atendem à condição de existência :
  • : satisfaz
  • : não satisfaz

Resposta

A condição de existência é e o conjunto solução da equação em é:

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