Dê a condição de existência e, determine, em
, o conjunto solução de cada uma das equações:
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação juntos! O enunciado nos pede para encontrar os valores de
que satisfazem a equação:
Primeiro, precisamos entender logaritmos, que é o conteúdo principal aqui. Também vamos precisar lembrar de algumas propriedades dos logaritmos para simplificar a equação. Antes de tudo, precisamos garantir as condições de existência dos logaritmos, ou seja, os argumentos dentro dos logaritmos têm que ser positivos.
Passo 2
Vamos começar definindo as condições de existência. Para
e
existirem, os argumentos devem ser maiores que zero:
Passo 3
Resolvendo as desigualdades:
Passo 4
A condição mais restritiva é
. Portanto, a condição de existência da equação é que
deve ser maior que 5.
Passo 5
Agora, vamos resolver a equação usando propriedades dos logaritmos. Uma propriedade útil é que a soma de logaritmos com a mesma base pode ser escrita como o logaritmo do produto dos argumentos:
Então, a equação fica:
Passo 6
Para resolver essa equação, vamos usar a definição do logaritmo. Se
, então
. Aplicando isso:
Passo 7
Calculando
:
Passo 8
Vamos expandir o produto:
Passo 9
Vamos deixar a equação igual a zero:
Passo 10
Agora, temos uma equação quadrática. Vamos resolver usando a fórmula de Bhaskara:
Onde
,
e
.
Passo 11
Calculando o discriminante (
):
Passo 12
Calculando as raízes:
Então, temos duas soluções:
Passo 13
Agora, vamos verificar se as soluções atendem à condição de existência
:
-
: satisfaz -
: não satisfaz
Resposta
A condição de existência é
e o conjunto solução da equação em
é:
Exercícios relacionados
(PISM 1 - 2013) Considere
e
números reais maiores que 1 , tais que
e
. O valor da expressão
é:
a)
b)
c)
d)
e)
a)
b)
c)
d)
e)
(PISM 1 - 2018) - Durante o início de um experimento um pesquisador analisou uma população com 101 indivíduos. Após
anos a população passou a ser de 181 indivíduos, e depois de
anos da análise inicial a população passou para 6661 indivíduos.
A função com
, determina o crescimento da população após
anos. Marque a alternativa contendo o valor da soma
.
a) 103
b) 104
c) 109
d) 110
e) 111
A função
a) 103
b) 104
c) 109
d) 110
e) 111
Mostre que, se
e
são racionais e
, então existe um racional
tal que
(PISM 1 - 2017) Um capital de R
, 00 aplicado no sistema de juros compostos a uma taxa de
ao mês, gera, após
meses, o montante (que é os juros mais o capital inicial) é dado pela fórmula abaixo:
O número mínimo de meses necessários para que o valor do montante seja igual a
é:
(Use que )
a) 17 meses
b) 20 meses
c) 25 meses
d) 28 meses
e) 32 meses
(Use que
a) 17 meses
b) 20 meses
c) 25 meses
d) 28 meses
e) 32 meses