Dê a condição de existência e, determine, em
, o conjunto solução de cada uma das equações:
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação juntos! O enunciado nos pede para encontrar os valores de
que satisfazem a equação:
Primeiro, precisamos entender logaritmos, que é o conteúdo principal aqui. Também vamos precisar lembrar de algumas propriedades dos logaritmos para simplificar a equação. Antes de tudo, precisamos garantir as condições de existência dos logaritmos, ou seja, os argumentos dentro dos logaritmos têm que ser positivos.
Passo 2
Vamos começar definindo as condições de existência. Para
e
existirem, os argumentos devem ser maiores que zero:
Passo 3
Resolvendo as desigualdades:
Passo 4
A condição mais restritiva é
. Portanto, a condição de existência da equação é que
deve ser maior que 5.
Passo 5
Agora, vamos resolver a equação usando propriedades dos logaritmos. Uma propriedade útil é que a soma de logaritmos com a mesma base pode ser escrita como o logaritmo do produto dos argumentos:
Então, a equação fica:
Passo 6
Para resolver essa equação, vamos usar a definição do logaritmo. Se
, então
. Aplicando isso:
Passo 7
Calculando
:
Passo 8
Vamos expandir o produto:
Passo 9
Vamos deixar a equação igual a zero:
Passo 10
Agora, temos uma equação quadrática. Vamos resolver usando a fórmula de Bhaskara:
Onde
,
e
.
Passo 11
Calculando o discriminante (
):
Passo 12
Calculando as raízes:
Então, temos duas soluções:
Passo 13
Agora, vamos verificar se as soluções atendem à condição de existência
:
-
: satisfaz -
: não satisfaz
Resposta
A condição de existência é
e o conjunto solução da equação em
é: