Pista de esqui: Uma pista de esqui é formada por três picos e dois vales intercalados. Os picos possuem alturas, respectivamente, iguais a
,
e
. Um esquiador parte com velocidade escalar de
do cume do pico
e para exatamente no cume do pico
. Considerando que as forças de atrito e resistência do ar dissipam
da energia mecânica do esquiador quando o mesmo vai do cume do pico
para o cume do pico
, calcule a altura
. Supondo agora que
da energia mecânica seja dissipada quando o esquiador vai do cume do pico
para o cume do pico
, com que velocidade ele passa no cume do pico
?
Passo 1
Vamos resolver um problema de energia mecânica aplicado a uma pista de esqui com três picos e dois vales. Precisamos encontrar a altura do pico
e a velocidade do esquiador no pico
. Para isso, vamos usar conceitos de energia potencial, energia cinética e perdas de energia devido ao atrito e resistência do ar.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a energia mecânica inicial do esquiador no cume do pico
. A energia mecânica total é a soma da energia potencial (
) e da energia cinética (
).
A energia potencial é dada por:
onde:
-
é a massa do esquiador, -
é a aceleração da gravidade ( ), -
é a altura.
A energia cinética é dada por:
onde:
-
é a velocidade.
No pico
, a altura é
e a velocidade é
.
Então, a energia mecânica inicial (
) é:
Passo 3
O esquiador para exatamente no pico
, o que significa que a energia cinética final (
) é zero. Além disso, 20% da energia mecânica é dissipada durante o trajeto de
a
.
A energia mecânica no pico
(
) é apenas a energia potencial:
Como 20% da energia foi dissipada:
Substituindo
:
Podemos cancelar
dos dois lados:
Isolando
:
Passo 4
Agora, vamos calcular
substituindo os valores conhecidos:
Calculando o termo dentro dos parênteses:
Então:
Passo 5
Agora, vamos calcular a velocidade do esquiador no pico
. Sabemos que 10% da energia mecânica é dissipada ao ir de
para
.
A energia mecânica no pico
(
) é:
Então:
Cancelando
:
Isolando
:
Multiplicando por 2:
Finalmente:
Resposta
A altura do pico
é aproximadamente 161,02 metros e a velocidade do esquiador no pico
é aproximadamente 12,57 m/s.
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