Pista de esqui: Uma pista de esqui é formada por três picos e dois vales intercalados. Os picos possuem alturas, respectivamente, iguais a h1=200 m, h2=160 m e h3. Um esquiador parte com velocidade escalar de 5 m / s do cume do pico h1 e para exatamente no cume do pico h3. Considerando que as forças de atrito e resistência do ar dissipam 20 % da energia mecânica do esquiador quando o mesmo vai do cume do pico h1 para o cume do pico h3, calcule a altura h3. Supondo agora que 10 % da energia mecânica seja dissipada quando o esquiador vai do cume do pico h1 para o cume do pico h2, com que velocidade ele passa no cume do pico h2?

Passo 1

Vamos resolver um problema de energia mecânica aplicado a uma pista de esqui com três picos e dois vales. Precisamos encontrar a altura do pico e a velocidade do esquiador no pico . Para isso, vamos usar conceitos de energia potencial, energia cinética e perdas de energia devido ao atrito e resistência do ar.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a energia mecânica inicial do esquiador no cume do pico Ep = m cdot g cdot h . A energia mecânica total é a soma da energia potencial ( Ek = 12 m v^2 ) e da energia cinética ( Em1 = m cdot g cdot h1 + 12 m v1^2 ).
A energia potencial é dada por:
onde:
  • é a massa do esquiador,
  • é a aceleração da gravidade ( ),
  • é a altura.
A energia cinética é dada por:
onde:
  • é a velocidade.
No pico , a altura é e a velocidade é .
Então, a energia mecânica inicial ( ) é:

Passo 3

O esquiador para exatamente no pico Em3 = m cdot g cdot h3 , o que significa que a energia cinética final ( Em3 = 0,8 cdot Em1 ) é zero. Além disso, 20% da energia mecânica é dissipada durante o trajeto de m cdot g cdot h3 = 0,8 cdot (m cdot g cdot h1 + 12 m v1^2) a g cdot h3 = 0,8 cdot (g cdot h1 + 12 v1^2) .
A energia mecânica no pico h3 = 0,8 cdot ( h1 + v1^22g ) ( ) é apenas a energia potencial:
Como 20% da energia foi dissipada:
Substituindo :
Podemos cancelar dos dois lados:
Isolando :

Passo 4

Agora, vamos calcular h3 = 0,8 cdot ( 200 + 5^22 cdot 9,8 ) substituindo os valores conhecidos:
5^22 cdot 9,8 = 2519,6 approx 1,276 , m
Calculando o termo dentro dos parênteses:
h3 = 0,8 cdot (200 + 1,276) = 0,8 cdot 201,276 approx 161,021 , m
Então:

Passo 5

Agora, vamos calcular a velocidade do esquiador no pico Em2 = Em1 - 0,1 cdot Em1 = 0,9 cdot Em1 . Sabemos que 10% da energia mecânica é dissipada ao ir de m cdot g cdot h2 + 12 m v2^2 = 0,9 cdot (m cdot g cdot h1 + 12 m v1^2) para g cdot h2 + 12 v2^2 = 0,9 cdot ( g cdot h1 + 12 v1^2 ) .
A energia mecânica no pico 12 v2^2 = 0,9 cdot (g cdot h1 + 12 v1^2) - g cdot h2 ( v2^2 = 1,8 cdot (g cdot h1 + 12 v1^2) - 2g cdot h2 ) é:
v2 = raiz1,8 cdot (g cdot h1 + 12 v1^2) - 2g cdot h2
Então:
Cancelando :
Isolando :
Multiplicando por 2:
Finalmente:

Resposta

A altura do pico é aproximadamente 161,02 metros e a velocidade do esquiador no pico é aproximadamente 12,57 m/s.

Exercícios relacionados