Pista de esqui: Uma pista de esqui é formada por três picos e dois vales intercalados. Os picos possuem alturas, respectivamente, iguais a , e . Um esquiador parte com velocidade escalar de do cume do pico e para exatamente no cume do pico . Considerando que as forças de atrito e resistência do ar dissipam da energia mecânica do esquiador quando o mesmo vai do cume do pico para o cume do pico , calcule a altura . Supondo agora que da energia mecânica seja dissipada quando o esquiador vai do cume do pico para o cume do pico , com que velocidade ele passa no cume do pico ?

Passo 1

Vamos resolver um problema de energia mecânica aplicado a uma pista de esqui com três picos e dois vales. Precisamos encontrar a altura do pico e a velocidade do esquiador no pico . Para isso, vamos usar conceitos de energia potencial, energia cinética e perdas de energia devido ao atrito e resistência do ar.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a energia mecânica inicial do esquiador no cume do pico . A energia mecânica total é a soma da energia potencial ( ) e da energia cinética ( ).
A energia potencial é dada por:
onde:
  • é a massa do esquiador,
  • é a aceleração da gravidade ( ),
  • é a altura.
A energia cinética é dada por:
onde:
  • é a velocidade.
No pico , a altura é e a velocidade é .
Então, a energia mecânica inicial ( ) é:

Passo 3

O esquiador para exatamente no pico , o que significa que a energia cinética final ( ) é zero. Além disso, 20% da energia mecânica é dissipada durante o trajeto de a .
A energia mecânica no pico ( ) é apenas a energia potencial:
Como 20% da energia foi dissipada:
Substituindo :
Podemos cancelar dos dois lados:
Isolando :

Passo 4

Agora, vamos calcular substituindo os valores conhecidos:
Calculando o termo dentro dos parênteses:
Então:

Passo 5

Agora, vamos calcular a velocidade do esquiador no pico . Sabemos que 10% da energia mecânica é dissipada ao ir de para .
A energia mecânica no pico ( ) é:
Então:
Cancelando :
Isolando :
Multiplicando por 2:
Finalmente:

Resposta

A altura do pico é aproximadamente 161,02 metros e a velocidade do esquiador no pico é aproximadamente 12,57 m/s.

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