Um pistão, com diâmetro e comprimento respectivamente iguais a 139,2 e 241,3 mm, escorrega dentro de um tubo vertical com velocidade V. A superfície interna do tubo está lubrificada e a espessura do filme de óleo é igual a 0,05 mm. Sabendo que a massa do pistão e a viscosidade do óleo são iguais a 0,227 kg e 0,77 N cdot s / m^2, estime a velocidade do pistão. Admita que o perfil de velocidade no filme de óleo é linear.

Passo 1

Vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos um pistão que desliza dentro de um tubo vertical com uma velocidade . As informações fornecidas são:
  • Diâmetro do pistão:
  • Comprimento do pistão:
  • Espessura do filme de óleo:
  • Massa do pistão:
  • Viscosidade do óleo:
Queremos estimar a velocidade do pistão. Para isso, vamos utilizar conceitos de força viscosa e equilíbrio de forças.

Passo 2

Primeiro, precisamos converter todas as unidades para o Sistema Internacional (SI).
  • Diâmetro:
  • Comprimento:
  • Espessura do filme de óleo:

Passo 3

Calculamos a área de contato A = pi d L do pistão com o óleo. Como o pistão tem forma cilíndrica, a área A = pi times 0,1392 , m times 0,2413 , m approx 0,1055 , m^2 é dada pela área da superfície lateral:
Substituindo os valores:

Passo 4

A força viscosa Fviscosa = eta times A times Ve que o óleo exerce contra o movimento do pistão é dada pela lei da viscosidade:
Onde:
  • é a viscosidade do óleo,
  • é a área de contato,
  • é a velocidade do pistão,
  • é a espessura do filme de óleo.

Passo 5

Em equilíbrio, a força viscosa contrabalança o peso do pistão. Assim:
Fviscosa = m times g
Onde é a aceleração da gravidade.

Passo 6

Igualando as duas expressões:
eta times A times Ve = m times g
Agora, resolvemos para V = m times g times eeta times A :

Passo 7

Substituindo os valores conhecidos:
V = 0,227 , kg times 9,81 , m/s^2 times 0,00005 , m0,77 , N cdot s/m^2 times 0,1055 , m^2
Calculando o numerador:
0,227 times 9,81 times 0,00005 approx 0,0001113 , N cdot m
E o denominador:
0,77 times 0,1055 approx 0,0811 , N cdot s/m
Portanto:
V = 0,00011130,0811 approx 0,00137 , m/s

Resposta

A velocidade do pistão é aproximadamente .

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