Uma placa de aço (coeficiente de dilatação linear = 1,0.10 °C) tem o formato de um quadrado de 1,5m de lado e encontra-se a uma temperatura de 10°C. Nessa temperatura, retira-se um pedaço da placa com formato de um disco de 20 cm de diâmetro e aquece-se, em seguida, apenas a placa furada, até a temperatura de 510°C. Recolocando-se o disco, mantido a 10°C, no “furo” da placa a 510°C, verifica-se uma folga, correspondente a uma coroa circular de área:​

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que está acontecendo aqui. Temos uma placa de aço quadrada com 1,5 metros de lado, inicialmente a uma temperatura de 10°C. Nessa placa, cortamos um disco circular com diâmetro de 20 cm. Depois, só a parte da placa que ficou com o furo é aquecida até 510°C. Quando colocamos de volta o disco que estava a 10°C, notamos que aparece uma folga, que tem a forma de uma coroa circular. Nosso objetivo aqui é calcular a área dessa folga.
Conteúdo envolvido: Dilatação térmica linear e a relação entre a dilatação linear e a área.
O que vamos precisar: A fórmula da dilatação linear e o entendimento de como a dilatação afeta a área de uma figura.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender quanto a temperatura mudou. A temperatura inicial é 10°C e a final é 510°C. Então, a variação de temperatura (ΔT) é:
De

Passo 3

Agora, vamos lembrar da fórmula da dilatação linear, que nos diz como o comprimento de um material muda com a temperatura:
De
Onde:
  • De é a variação no comprimento.
  • alpha é o coeficiente de dilatação linear.
  • L é o comprimento original.
  • De é a variação de temperatura.
No nosso caso, o coeficiente de dilatação linear ( alpha) é 1,0 times 10^-5 , °C^-1.

Passo 4

Como estamos lidando com um círculo (área), precisamos adaptar a fórmula da dilatação linear para a dilatação superficial. A dilatação superficial ( De) é aproximadamente:
De
Onde:
  • De é a variação na área.
  • Aoriginal é a área original do disco.

Passo 5

Primeiro, vamos calcular a área original do disco que foi retirado:
O diâmetro do disco é 20 cm, então o raio ( R) é metade disso:
R = 20 , cm2 = 10 , cm = 0,10 , m
A área do disco é dada por:
Aoriginal = pi times R^2 = pi times (0,10)^2 = pi times 0,01 approx 0,0314 , m^2

Passo 6

Agora, aplicamos a fórmula da dilatação superficial para encontrar a variação na área do furo:
De
Substituindo os valores:
De

Passo 7

Vamos resolver passo a passo:
Primeiro, multiplique 2 times 1,0 times 10^-5 = 2,0 times 10^-5.
Depois, multiplique por 500:
2,0 times 10^-5 times 500 = 0,01
Finalmente, multiplique por 0,0314:
0,01 times 0,0314 = 0,000314 , m^2

Resposta

A área da folga formada na coroa circular é de aproximadamente 3,14 times 10^-4 metros quadrados.

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