Suponha que um pêndulo simples consiste em um pequeno peso de 60,0 g na extremidade de uma corda de massa desprezível. Se o ângulo θ entre a corda e a vertical é dado por θ = (0,0800 rad) cos[(4,43 rad/s)t +φ], quais são (a) o comprimento do pêndulo e (b) sua energia cinética máxima?
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de pêndulo simples juntos! A gente tem um peso de 60,0 g pendurado numa corda sem massa, e o ângulo que a corda forma com a vertical varia conforme a função θ = (0,0800 rad) cos[(4,43 rad/s)t + φ]. Precisamos descobrir duas coisas: (a) o comprimento do pêndulo e (b) a energia cinética máxima desse sistema. Para isso, vamos usar conceitos de física sobre pêndulos e energia.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar o comprimento do pêndulo. Sabemos que a frequência angular ω está relacionada com a gravidade g e o comprimento L do pêndulo pela fórmula:
Aqui, ω é dado como 4,43 rad/s e queremos encontrar L. Essa fórmula vem da análise das oscilações de um pêndulo simples.
Passo 3
Agora, vamos rearranjar a fórmula para resolver L:
Sabendo que a aceleração da gravidade g é aproximadamente 9,81 m/s², substituímos os valores:
Calculando o denominador:
Então:
Passo 4
Agora, vamos calcular a energia cinética máxima. A energia cinética (K) de um pêndulo é dada por:
Onde m é a massa e v é a velocidade máxima. A velocidade máxima ocorre quando o pêndulo passa pela posição vertical, e pode ser relacionada à amplitude do movimento. Primeiro, precisamos converter a massa de 60,0 g para kg:
A velocidade máxima v está relacionada ao comprimento L, à frequência angular ω e à amplitude θ₀ pela fórmula:
Onde θ₀ é a amplitude angular, que é 0,0800 rad.
Passo 5
Vamos calcular v_max:
Agora, substituímos na fórmula da energia cinética:
Calculando:
Resposta
(a) O comprimento do pêndulo é aproximadamente 0,500 metros.
(b) A energia cinética máxima do pêndulo é aproximadamente 0,000939 joules.