Suponha que um pêndulo simples consiste em um pequeno peso de 60,0 g na extremidade de uma corda de massa desprezível. Se o ângulo θ entre a corda e a vertical é dado por θ = (0,0800 rad) cos[(4,43 rad/s)t +φ], quais são (a) o comprimento do pêndulo e (b) sua energia cinética máxima?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de pêndulo simples juntos! A gente tem um peso de 60,0 g pendurado numa corda sem massa, e o ângulo que a corda forma com a vertical varia conforme a função θ = (0,0800 rad) cos[(4,43 rad/s)t + φ]. Precisamos descobrir duas coisas: (a) o comprimento do pêndulo e (b) a energia cinética máxima desse sistema. Para isso, vamos usar conceitos de física sobre pêndulos e energia.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o comprimento do pêndulo. Sabemos que a frequência angular ω está relacionada com a gravidade g e o comprimento L do pêndulo pela fórmula:
omega = raizgL
Aqui, ω é dado como 4,43 rad/s e queremos encontrar L. Essa fórmula vem da análise das oscilações de um pêndulo simples.

Passo 3

Agora, vamos rearranjar a fórmula para resolver L:
L = gomega^2
Sabendo que a aceleração da gravidade g é aproximadamente 9,81 m/s², substituímos os valores:
L = 9,81 , m/s²(4,43 , rad/s)² ²²
Calculando o denominador:
(4,43)^2 = 19,6249 , rad²/s² ²²
Então:
L = 9,8119,6249 approx 0,500 , metros

Passo 4

Agora, vamos calcular a energia cinética máxima. A energia cinética (K) de um pêndulo é dada por:
K = 12 m v^2
Onde m é a massa e v é a velocidade máxima. A velocidade máxima ocorre quando o pêndulo passa pela posição vertical, e pode ser relacionada à amplitude do movimento. Primeiro, precisamos converter a massa de 60,0 g para kg:
m = 60,0 , g = 0,060 , kg
A velocidade máxima v está relacionada ao comprimento L, à frequência angular ω e à amplitude θ₀ pela fórmula:
vmáx = L omega theta0 á
Onde θ₀ é a amplitude angular, que é 0,0800 rad.

Passo 5

Vamos calcular v_max:
vmáx = 0,500 , m times 4,43 , rad/s times 0,0800 , rad = 0,500 times 4,43 times 0,0800 = 0,1772 , m/s á
Agora, substituímos na fórmula da energia cinética:
Kmáx = 12 times 0,060 , kg times (0,1772 , m/s)² á²
Calculando:
(0,1772)^2 = 0,0313 , m²/s² ²²
Kmáx = 0,5 times 0,060 times 0,0313 approx 0,000939 , J á

Resposta

(a) O comprimento do pêndulo é aproximadamente 0,500 metros.
(b) A energia cinética máxima do pêndulo é aproximadamente 0,000939 joules.

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