Uma placa de forma retangular, tendo uma espessura de 0,125 cm e uma largura de possui bordas impermeáveis, de modo que a difusão ocorre somente ao longo de sua espessura. Para uma dosagem total de uma droga (soluto A) de , a concentração inicial da mesma vale . A concentração de A na superfície exposta da placa é mantida em zero. Qual é a quantidade total ( mg de A ) da droga liberada depois de 1,0 e 2,0 horas, respectivamente? Usar uma série infinita para realizar os cálculos.

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma placa retangular com espessura de e largura de . As bordas são impermeáveis, então a droga só difunde ao longo da espessura da placa. Inicialmente, a concentração da droga é e a quantidade total é . A concentração na superfície exposta é mantida em zero. Precisamos calcular a quantidade total de droga liberada após 1,0 e 2,0 horas usando uma série infinita. Vamos usar a teoria de difusão de Fick para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar da Lei de Fick para a difusão unidimensional. A difusão é descrita pela equação de calor:
onde:
  • é a concentração da droga,
  • é o tempo,
  • é o coeficiente de difusão,
  • é a posição na espessura da placa.

Passo 3

Como as bordas são impermeáveis, a condição de contorno na posição é que o fluxo de difusão é zero:
Na superfície exposta, , a concentração é mantida em zero:

Passo 4

A solução geral para a concentração pode ser encontrada usando métodos de separação de variáveis e é dada por uma série infinita:
onde:
  • é a concentração inicial,
  • é a espessura da placa,
  • são os modos próprios da equação.

Passo 5

Para calcular a quantidade total liberada , integramos a concentração ao longo da espessura:
Substituindo a série para :

Passo 6

A integral da função seno resulta em:
Substituindo de volta na expressão de :
Simplificando:

Passo 7

Para encontrar , usamos as condições de contorno. A condição na borda impermeável implica que , o que leva a:
para

Passo 8

Substituindo na expressão de :

Passo 9

Agora, usando os valores fornecidos:
  • Tempo e
Precisamos calcular a soma infinita para esses tempos específicos.

Passo 10

Para simplificação, consideramos os primeiros termos da série para aproximar . Assumindo que os termos superiores contribuem menos, calculamos até :

Passo 11

Finalmente, substituímos os valores numéricos e calculamos para e horas, resultando nas quantidades de droga liberadas após esses tempos.

Resposta

A quantidade total de droga liberada é aproximadamente:
  • Após 1,0 hora:
  • Após 2,0 horas:

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