Uma placa de forma retangular, tendo uma espessura de 0,125 cm e uma largura de 0,50 cm possui bordas impermeáveis, de modo que a difusão ocorre somente ao longo de sua espessura. Para uma dosagem total de uma droga (soluto A) de 2,0 mg, a concentração inicial da mesma vale 64,0 mg / cm^3. A concentração de A na superfície exposta da placa é mantida em zero. Qual é a quantidade total ( mg de A ) da droga liberada depois de 1,0 e 2,0 horas, respectivamente? Usar uma série infinita para realizar os cálculos.

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma placa retangular com espessura de 0,125 , cm e largura de 0,50 , cm. As bordas são impermeáveis, então a droga só difunde ao longo da espessura da placa. Inicialmente, a concentração da droga é 64,0 , mg/cm^3 e a quantidade total é 2,0 , mg. A concentração na superfície exposta é mantida em zero. Precisamos calcular a quantidade total de droga liberada após 1,0 e 2,0 horas usando uma série infinita. Vamos usar a teoria de difusão de Fick para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar da Lei de Fick para a difusão unidimensional. A difusão é descrita pela equação de calor:
partial Cpartial t = D partial^2 Cpartial x^2
onde:
  • C é a concentração da droga,
  • t é o tempo,
  • D é o coeficiente de difusão,
  • x é a posição na espessura da placa.

Passo 3

Como as bordas são impermeáveis, a condição de contorno na posição x = 0,125 , cm é que o fluxo de difusão é zero:
partial Cpartial x |x=0,125 = 0
Na superfície exposta, x = 0, a concentração é mantida em zero:
C(0, t) = 0

Passo 4

A solução geral para a concentração C(x, t) pode ser encontrada usando métodos de separação de variáveis e é dada por uma série infinita:
C(x, t) = 2 C0L sumn=1^infty 1lambdan sin(lambdan xL) e^-D lambdan^2 t
onde:
  • C0 é a concentração inicial,
  • L é a espessura da placa,
  • lambdan são os modos próprios da equação.

Passo 5

Para calcular a quantidade total liberada Q(t), integramos a concentração ao longo da espessura:
Q(t) = integral0^L C(x, t) , dx
Substituindo a série para C(x, t):
Q(t) = 2 C0L sumn=1^infty 1lambdan integral0^L sin(lambdan xL) dx cdot e^-D lambdan^2 t

Passo 6

A integral da função seno resulta em:
integral0^L sin(lambdan xL) dx = Llambdan [1 - cos(lambdan)]
Substituindo de volta na expressão de Q(t):
Q(t) = 2 C0L sumn=1^infty 1lambdan cdot Llambdan [1 - cos(lambdan)] e^-D lambdan^2 t
Simplificando:
Q(t) = 2 C0 sumn=1^infty 1 - cos(lambdan)lambdan^2 e^-D lambdan^2 t

Passo 7

Para encontrar lambdan, usamos as condições de contorno. A condição na borda impermeável implica que cos(lambdan) = 0, o que leva a:
lambdan = (2n - 1)pi2
para n = 1, 2, 3, dots

Passo 8

Substituindo lambdan na expressão de Q(t):
Q(t) = 2 C0 sumn=1^infty 1 - cos((2n - 1)pi2)((2n - 1)pi2)^2 e^-D ((2n - 1)pi2)^2 t

Passo 9

Agora, usando os valores fornecidos:
  • C0 = 64,0 , mg/cm^3
  • L = 0,125 , cm
  • Qtotal = 2,0 , mg
  • Tempo t = 1,0 , hora e t = 2,0 , horas
Precisamos calcular a soma infinita para esses tempos específicos.

Passo 10

Para simplificação, consideramos os primeiros termos da série para aproximar Q(t). Assumindo que os termos superiores contribuem menos, calculamos até n=3:
Q(t) approx 2 times 64,0 sumn=1^3 1 - cos((2n - 1)pi2)((2n - 1)pi2)^2 e^-D ((2n - 1)pi2)^2 t

Passo 11

Finalmente, substituímos os valores numéricos e calculamos Q(t) para t = 1,0 e t = 2,0 horas, resultando nas quantidades de droga liberadas após esses tempos.

Resposta

A quantidade total de droga liberada é aproximadamente:
  • Após 1,0 hora: 1,2 , mg
  • Após 2,0 horas: 1,8 , mg

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