Em um processo de fabricação, átomos de um determinado metal A difundem-se por uma pequena distância para uma pastilha de material cristalino B. Um processo físico de deposição por vapor mantém a concentração do metal em sua forma elementar na superfície da pastilha igual a 5,0 times 10^20 átomos de A / cm^3 de material cristalino. Deseja-se produzir um filme fino do material cristalino dopado de modo a se ter uma concentração de metal de pelo menos 1,7 times 10^19 átomos de A / cm^3 do material cristalino a uma profundidade de 0,20 mícron ( mu m) a partir da superfície da pastilha. Deseja-se alcançar esse objetivo no intervalo de 30 min de tempo de processamento.
a. Em que temperatura o processo de dopagem do metal deve operar? Sabe-se que a dependência do coeficiente de difusão do metal (A) no material cristalino (B) com a temperatura é dada por:
DAB=D0 cdot e-Q0 / RT
em que D0=0,019 cm^2 / s e Q0=2,74 times 10^5 J / gmol para o boro elementar no silício sólido. A constante termodinâmica R=8,314 J /(gmol K).
b. Qual é o fluxo de átomos de A na superfície da pastilha de material cristalino B em 10 min e em 30 min?

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos um processo de fabricação onde átomos de um metal A estão se espalhando (difundindo) em um material cristalino B. A gente precisa descobrir duas coisas:
a. Qual a temperatura que esse processo de dopagem deve ter para que, após 30 minutos, a concentração de A a uma profundidade de 0,20 mícron seja pelo menos átomos/cm³.
Para resolver isso, vamos precisar usar a teoria de difusão e a equação que relaciona o coeficiente de difusão com a temperatura.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a relação entre a profundidade de difusão, o tempo e o coeficiente de difusão x = raizD cdot t . A profundidade de difusão pode ser aproximada pela fórmula:
Aqui, é a profundidade, é o coeficiente de difusão e é o tempo.

Passo 3

Queremos que 0,20 mu m = 0,20 times 10^-4 cm = 2 times 10^-5 cm mícron. Primeiro, vamos converter isso para centímetros para manter as unidades consistentes:

Passo 4

Sabemos que o tempo 30 minutos = 30 times 60 segundos = 1800 s é de 30 minutos. Vamos converter isso para segundos:

Passo 5

Agora, vamos reorganizar a fórmula da profundidade para encontrar o coeficiente de difusão D = x^2t :
D = (2 times 10^-5 cm)^21800 s = 4 times 10^-10 cm^21800 s approx 2,22 times 10^-13 cm^2/s
Substituindo os valores:

Passo 6

Sabemos que o coeficiente de difusão D = D0 cdot e^-Q0R T depende da temperatura pela equação de Arrhenius:
Onde:
Queremos encontrar tal que .

Passo 7

Vamos reorganizar a equação de Arrhenius para resolver DD0 = e^-Q0R T :
ln(DD0) = -Q0R T
Tirando o logaritmo natural de ambos os lados:
T = -Q0R cdot ln(DD0)
Isolando :

Passo 8

Substituindo os valores:
ln(2,22 times 10^-130,019) = ln(1,168 times 10^-11) approx -25,16
Agora, calculando T = -2,74 times 10^5 J/gmol8,314 J/(gmol K) cdot (-25,16) approx 2,74 times 10^5209,2 approx 1310 K :

Resposta

A temperatura necessária para o processo de dopagem operar é aproximadamente 1310 K.

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