Em um processo de fabricação, átomos de um determinado metal A difundem-se por uma pequena distância para uma pastilha de material cristalino B. Um processo físico de deposição por vapor mantém a concentração do metal em sua forma elementar na superfície da pastilha igual a 5,0 átomos de de material cristalino. Deseja-se produzir um filme fino do material cristalino dopado de modo a se ter uma concentração de metal de pelo menos átomos de do material cristalino a uma profundidade de 0,20 mícron ( ) a partir da superfície da pastilha. Deseja-se alcançar esse objetivo no intervalo de 30 min de tempo de processamento.
a. Em que temperatura o processo de dopagem do metal deve operar? Sabe-se que a dependência do coeficiente de difusão do metal (A) no material cristalino (B) com a temperatura é dada por:
em que e para o boro elementar no silício sólido. A constante termodinâmica .
b. Qual é o fluxo de átomos de A na superfície da pastilha de material cristalino B em 10 min e em 30 min?

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos um processo de fabricação onde átomos de um metal A estão se espalhando (difundindo) em um material cristalino B. A gente precisa descobrir duas coisas:
a. Qual a temperatura que esse processo de dopagem deve ter para que, após 30 minutos, a concentração de A a uma profundidade de 0,20 mícron seja pelo menos átomos/cm³.
Para resolver isso, vamos precisar usar a teoria de difusão e a equação que relaciona o coeficiente de difusão com a temperatura.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a relação entre a profundidade de difusão, o tempo e o coeficiente de difusão . A profundidade de difusão pode ser aproximada pela fórmula:
Aqui, é a profundidade, é o coeficiente de difusão e é o tempo.

Passo 3

Queremos que mícron. Primeiro, vamos converter isso para centímetros para manter as unidades consistentes:

Passo 4

Sabemos que o tempo é de 30 minutos. Vamos converter isso para segundos:

Passo 5

Agora, vamos reorganizar a fórmula da profundidade para encontrar o coeficiente de difusão :
Substituindo os valores:

Passo 6

Sabemos que o coeficiente de difusão depende da temperatura pela equação de Arrhenius:
Onde:
Queremos encontrar tal que .

Passo 7

Vamos reorganizar a equação de Arrhenius para resolver :
Tirando o logaritmo natural de ambos os lados:
Isolando :

Passo 8

Substituindo os valores:
Agora, calculando :

Resposta

A temperatura necessária para o processo de dopagem operar é aproximadamente 1310 K.

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