Em um processo de fabricação, átomos de um determinado metal A difundem-se por uma pequena distância para uma pastilha de material cristalino B. Um processo físico de deposição por vapor mantém a concentração do metal em sua forma elementar na superfície da pastilha igual a 5,0
átomos de
de material cristalino. Deseja-se produzir um filme fino do material cristalino dopado de modo a se ter uma concentração de metal de pelo menos
átomos de
do material cristalino a uma profundidade de 0,20 mícron (
) a partir da superfície da pastilha. Deseja-se alcançar esse objetivo no intervalo de 30 min de tempo de processamento.
a. Em que temperatura o processo de dopagem do metal deve operar? Sabe-se que a dependência do coeficiente de difusão do metal (A) no material cristalino (B) com a temperatura é dada por:
em que
e
para o boro elementar no silício sólido. A constante termodinâmica
.
b. Qual é o fluxo de átomos de A na superfície da pastilha de material cristalino B em 10 min e em 30 min?
a. Em que temperatura o processo de dopagem do metal deve operar? Sabe-se que a dependência do coeficiente de difusão do metal (A) no material cristalino (B) com a temperatura é dada por:
b. Qual é o fluxo de átomos de A na superfície da pastilha de material cristalino B em 10 min e em 30 min?
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos um processo de fabricação onde átomos de um metal A estão se espalhando (difundindo) em um material cristalino B. A gente precisa descobrir duas coisas:
a. Qual a temperatura que esse processo de dopagem deve ter para que, após 30 minutos, a concentração de A a uma profundidade de 0,20 mícron seja pelo menos
átomos/cm³.
Para resolver isso, vamos precisar usar a teoria de difusão e a equação que relaciona o coeficiente de difusão com a temperatura.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a relação entre a profundidade de difusão, o tempo e o coeficiente de difusão
. A profundidade de difusão
pode ser aproximada pela fórmula:
Aqui,
é a profundidade,
é o coeficiente de difusão e
é o tempo.
Passo 3
Queremos que
mícron. Primeiro, vamos converter isso para centímetros para manter as unidades consistentes:
Passo 4
Sabemos que o tempo
é de 30 minutos. Vamos converter isso para segundos:
Passo 5
Agora, vamos reorganizar a fórmula da profundidade para encontrar o coeficiente de difusão
:
Substituindo os valores:
Passo 6
Sabemos que o coeficiente de difusão
depende da temperatura
pela equação de Arrhenius:
Onde:
Queremos encontrar
tal que
.
Passo 7
Vamos reorganizar a equação de Arrhenius para resolver
:
Tirando o logaritmo natural de ambos os lados:
Isolando
:
Passo 8
Substituindo os valores:
Agora, calculando
:
Resposta
A temperatura necessária para o processo de dopagem operar é aproximadamente 1310 K.