Uma placa frágil, grande e espessa possui uma trinca central de 4 mm que atravessa toda sua espessura. A fratura acontece quando uma tensão trativa de 7 MPa é aplicada. Calcule a taxa de energia de deformação liberada usando a teoria de Griffith e a abordagem do fator de intensidade de tensão. Haveria diferença entre os resultados? Explique. Dados: E = 62 GPa e v=0,20. (R. 4,77)

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma placa frágil grande e espessa com uma trinca central de 4 mm que atravessa toda a sua espessura. Quando aplicamos uma tensão trativa de 7 MPa, ocorre a fratura. A gente precisa calcular a taxa de energia de deformação liberada usando duas abordagens: a teoria de Griffith e a abordagem do fator de intensidade de tensão. Além disso, precisamos verificar se há diferença entre os resultados obtidos por esses métodos. Para resolver isso, vamos precisar dos dados fornecidos: módulo de elasticidade GPa e o coeficiente de Poisson .

Passo 2

Primeiro, vamos entender a teoria de Griffith. Essa teoria é usada para prever a fratura em materiais frágeis. Ela relaciona a energia necessária para a formação de uma nova superfície de fratura com a energia de deformação do material. A fórmula básica da teoria de Griffith para a taxa de liberação de energia ( G = sigma^2 pi aE' ) é:
Onde:
  • é a tensão aplicada,
  • é o comprimento da trinca,
  • é o módulo de elasticidade corrigido, calculado por .

Passo 3

Vamos calcular E' = 62 times 10^3 MPa1 - (0,20)^2 = 62 times 10^31 - 0,04 = 62 times 10^30,96 approx 64,583 times 10^3 MPa primeiro. Com GPa e :

Passo 4

Agora, substituímos os valores na fórmula de Griffith:
G = (7 MPa)^2 times pi times 4 mm64,583 times 10^3 MPa
Primeiro, calculamos G = 49 times pi times 464,583 times 10^3 approx 49 times 12,566 times 464,583 times 10^3 MPa².
G approx 49 times 50,26564,583 times 10^3 approx 2.463, 585 64.583 times 10^3 approx 0,0381 N/mm
Convertendo para uma unidade mais comum, 0,0381 N/mm é aproximadamente 38,1 mJ/m².

Passo 5

Agora, vamos usar a abordagem do fator de intensidade de tensão. A taxa de liberação de energia ( G = K^2E' ) também pode ser expressa em termos do fator de intensidade de tensão ( K = sigma raizpi a ):
K = 7 MPa times raizpi times 2 mm approx 7 times raiz6,283 approx 7 times 2,507 approx 17,55 MParaizmm
Primeiro, precisamos encontrar . Para uma trinca central em uma placa grande e espessa, o fator pode ser calculado por:
Onde é metade do comprimento total da trinca. Se a trinca tem 4 mm, então mm.

Passo 6

Agora, substituímos G = (17,55)^264,583 times 10^3 approx 308,0264.583 times 10^3 approx 0,00477 N/mm na fórmula de :
Convertendo para mJ/m², temos aproximadamente 4,77 mJ/m².

Resposta

A taxa de energia de deformação liberada é aproximadamente 4,77 mJ/m². Tanto a teoria de Griffith quanto a abordagem do fator de intensidade de tensão resultaram no mesmo valor, confirmando que, para este caso específico, não há diferença entre os métodos utilizados.

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