Uma placa frágil, grande e larga contendo uma trinca central fratura em uma tensão de 4 MPa. A taxa de energia crítica e o módulo de elasticidade são e 65 GPa , respectivamente. Presuma a condição de tensão plana e espessura igual a 3 mm em todos os cálculos. Use a teoria de Griffith para resolver este exercício.
a. Faça o gráfico da energia total , energia de superfície e energia de deformação pelo comprimento da trinca.
b. Determine o tamanho crítico da trinca. (R.5,17)
c. Determine a energia potencial máxima (UTmáx). (R. )
d. Após o material atingir a energia potencial máxima, o crescimento da trinca é instável. Qual o valor da taxa de energia quando o crescimento da trinca é instável? (R. -4,6)
e. Qual o valor do fator de intensidade de tensão crítico desta placa frágil? (R.0,51)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre uma placa frágil que quebra sob uma tensão de 4 MPa devido a uma trinca central. A gente vai usar a Teoria de Griffith, que estuda como trincas crescem em materiais frágeis. Para resolvermos, vamos precisar entender energia total, energia de superfície e energia de deformação, além de usar a relação entre elas para encontrar o tamanho crítico da trinca e outros valores pedidos.

Passo 2

Primeiro, vamos entender as energias envolvidas:
  • Energia Total ( ): É a soma da energia de deformação e da energia de superfície.
  • Energia de Deformação ( ): Energia armazenada devido à deformação do material.
  • Energia de Superfície ( ): Energia necessária para criar a nova superfície da trinca.
A relação é dada por:

Passo 3

Vamos expressar cada energia em função do comprimento da trinca ( ):
  • Energia de Deformação: Para uma placa cheia, , onde é a tensão, o módulo de elasticidade, e a espessura.
  • Energia de Superfície: , onde é a energia de superfície por unidade de área.
Substituindo os valores dados:

Passo 4

Agora, vamos plotar as energias em função de :
  • Energia Total ( ):
  • Energia de Deformação ( ):
  • Energia de Superfície ( ):

Passo 5

Para encontrar o tamanho crítico da trinca ( ), usamos a condição de equilíbrio onde a derivada da energia total em relação a é zero:
Mas como tamanho não pode ser negativo, houve um erro nos sinais. Revisando:
Na verdade, a energia total atinge o mínimo onde :

Passo 6

A energia potencial máxima ( ) ocorre no tamanho crítico da trinca:
Convertendo para unidades maiores:

Passo 7

Após atingir , o crescimento da trinca é instável. A taxa de energia quando isso ocorre é simplesmente a energia de superfície negativa:

Passo 8

Finalmente, o fator de intensidade de tensão crítico ( ) é dado por:
Substituindo os valores:

Resposta

a. Os gráficos de , e em função do comprimento da trinca são parabólicos e lineares, respectivamente, conforme as fórmulas derivadas.
b. O tamanho crítico da trinca é aproximadamente 101,6 mm.
c. A energia potencial máxima ( ) é J.
d. A taxa de energia quando o crescimento da trinca é instável é -4,6 J/m².
e. O fator de intensidade de tensão crítico desta placa frágil é 0,51 MPa√m.

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