Uma placa infinita que ocupa o espaço entre os planos
e
tem uma densidade volumétrica de cargas uniformes
. Determine o módulo do campo elétrico no plano
.
Passo 1
Resumo do Enunciado e Conceitos Envolvidos
Vamos resolver um exercício onde temos uma placa infinita situada entre os planos $ x = -2 , cm $ e $ x = 3 , cm $. Essa placa tem uma densidade superficial de carga uniforme $ p = 1,4 , nC/m^2 $. Nosso objetivo é encontrar o módulo do campo elétrico no ponto $ x = 8 , cm $.
Para resolver isso, vamos precisar entender:
- Campo Elétrico devido a uma Placa Infinita: Como uma placa carregada gera um campo elétrico ao seu redor.
- Princípio da Superposição: Como somar os campos elétricos de diferentes fontes.
Passo 2
Entendendo o Campo Elétrico de uma Placa Infinita
Primeiro, lembremos que uma placa infinita com densidade superficial de carga $ p $ gera um campo elétrico uniforme ao seu redor. A fórmula para o campo elétrico $ E $ gerado por uma placa infinita é:
onde:
- $ p $ é a densidade superficial de carga.
- $ \varepsilon_0 $ é a permittividade do vácuo ($ \varepsilon_0 \approx 8,85 \times 10^{-12} , C^2/N \cdot m^2 $).
O campo elétrico gerado por uma placa infinita aponta perpendicularmente para fora da placa se a carga for positiva e para dentro se for negativa.
Passo 3
Analisando a Placa com Espessura
Nossa placa não é apenas uma única superfície, mas sim uma placa com espessura, ocupando de $ x = -2 , cm $ a $ x = 3 , cm $. Isso significa que temos duas superfícies carregadas:
- Uma em $ x = -2 , cm $
- Outra em $ x = 3 , cm $
Cada uma dessas superfícies gera seu próprio campo elétrico. Como a densidade de carga é a mesma em ambas, o campo gerado por cada superfície será $ E = \frac{p}{2 \varepsilon_0} $.
Passo 4
Direção dos Campos Elétricos das Duas Superfícies
Vamos determinar a direção dos campos elétricos gerados por cada uma das superfícies:
-
Superfície em $ x = -2 , cm $:
- Se $ p $ for positivo, o campo elétrico gerado por essa superfície aponta para a direita (em direção ao aumento de $ x $).
-
Superfície em $ x = 3 , cm $:
- Novamente, se $ p $ for positivo, o campo elétrico gerado por essa superfície aponta para a esquerda (em direção ao decremento de $ x $).
Passo 5
Aplicando o Princípio da Superposição
Agora, queremos encontrar o campo elétrico no ponto $ x = 8 , cm $, que está à direita da placa. Vamos somar os campos elétricos gerados por cada superfície nesse ponto:
- Campo da superfície em $ x = -2 , cm $: Aponta para a direita.
- Campo da superfície em $ x = 3 , cm $: Aponta também para a direita (já que estamos do lado de fora da placa e ambos os campos apontam para fora).
Portanto, os campos se somam:
Resposta
O módulo do campo elétrico no ponto $ x = 8 , cm $ é dado por:
Portanto, o campo elétrico no ponto $ x = 8 , cm $ tem módulo de aproximadamente $ 158 , N/C $.