Uma placa de liga de alumínio, aquecida até uma temperatura uniforme de
, é resfriada enquanto permanece suspensa em posição vertical em uma sala cujo ar ambiente e a vizinhança se encontram a
. A placa é quadrada, com
de lado e 10 mm de espessura. Sua emissividade é
. Propriedades do Alumínio a
constante de Boltzmann.
(a) Desenvolva uma expressão para a taxa de variação de temperatura da placa com o tempo, admitindo que a temperatura seja uniforme em qualquer tempo.
(a) Desenvolva uma expressão para a taxa de variação de temperatura da placa com o tempo, admitindo que a temperatura seja uniforme em qualquer tempo.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos uma placa de liga de alumínio aquecida a uma temperatura inicial de
e que está sendo resfriada em uma sala onde a temperatura ambiente é
. A placa é quadrada, com lados de
e espessura de
. Queremos desenvolver uma expressão para a taxa de variação da temperatura da placa com o tempo (
), assumindo que a temperatura é uniforme em qualquer instante de tempo.
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de transferência de calor, especificamente radiação térmica, além de propriedades termofísicas do alumínio. Vamos também utilizar a Lei de Stefan-Boltzmann para calcular a perda de calor por radiação.
Passo 2
Vamos começar identificando as propriedades da placa e as condições dadas:
- Temperatura inicial da placa (
): - Temperatura ambiente (
): - Lado da placa (
): - Espessura da placa (
): - Emissividade (
): - Densidade do alumínio (
): - Calor específico (
): - Constante de Stefan-Boltzmann (
):
Vamos considerar que a única forma significativa de perda de calor é por radiação térmica.
Passo 3
Primeiro, calculamos a área da placa (
) que está perdendo calor por radiação. Como a placa é quadrada:
Passo 4
Em seguida, determinamos a massa (
) da placa. A massa pode ser calculada usando a densidade (
) e o volume (
) da placa:
Passo 5
Agora, aplicamos a Lei de Stefan-Boltzmann para calcular a taxa de perda de calor por radiação (
):
Onde:
-
é a temperatura da placa em Kelvin. -
é a temperatura ambiente em Kelvin.
Precisamos converter as temperaturas de Celsius para Kelvin:
Passo 6
A taxa de perda de calor também está relacionada à variação de temperatura da placa pelo tempo, usando a relação:
Igualando as duas expressões para
:
Passo 7
Agora, isolamos
para obter a expressão desejada:
Essa é a expressão que descreve a taxa de variação da temperatura da placa com o tempo, considerando que a única forma de perda de calor é por radiação térmica.
Resposta
A taxa de variação da temperatura da placa com o tempo é dada por: