Uma placa de liga de alumínio, aquecida até uma temperatura uniforme de 227^circ C, é resfriada enquanto permanece suspensa em posição vertical em uma sala cujo ar ambiente e a vizinhança se encontram a 27^circ C. A placa é quadrada, com 0,3 m de lado e 10 mm de espessura. Sua emissividade é varepsilon=0,50. Propriedades do Alumínio a 127^circ C (rho=2770 Kg / m^3, cp=925 J / Kg cdot K) cdot sigma=5,67 times 10^-8 W / m^2 cdot K^4 constante de Boltzmann.
(a) Desenvolva uma expressão para a taxa de variação de temperatura da placa com o tempo, admitindo que a temperatura seja uniforme em qualquer tempo.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos uma placa de liga de alumínio aquecida a uma temperatura inicial de e que está sendo resfriada em uma sala onde a temperatura ambiente é . A placa é quadrada, com lados de e espessura de . Queremos desenvolver uma expressão para a taxa de variação da temperatura da placa com o tempo ( ), assumindo que a temperatura é uniforme em qualquer instante de tempo.
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de transferência de calor, especificamente radiação térmica, além de propriedades termofísicas do alumínio. Vamos também utilizar a Lei de Stefan-Boltzmann para calcular a perda de calor por radiação.

Passo 2

Vamos começar identificando as propriedades da placa e as condições dadas:
  • Temperatura inicial da placa ( ):
  • Temperatura ambiente ( ):
  • Lado da placa ( ):
  • Espessura da placa ( ):
  • Emissividade ( ):
  • Densidade do alumínio ( ):
  • Calor específico ( ):
  • Constante de Stefan-Boltzmann ( ):
Vamos considerar que a única forma significativa de perda de calor é por radiação térmica.

Passo 3

Primeiro, calculamos a área da placa ( A = L times L = (0,3 m) times (0,3 m) = 0,09 m^2 ) que está perdendo calor por radiação. Como a placa é quadrada:

Passo 4

Em seguida, determinamos a massa ( V = A times e = 0,09 m^2 times 0,01 m = 0,0009 m^3 ) da placa. A massa pode ser calculada usando a densidade ( m = rho times V = 2770 kg/m^3 times 0,0009 m^3 = 2,493 kg ) e o volume ( ) da placa:

Passo 5

Agora, aplicamos a Lei de Stefan-Boltzmann para calcular a taxa de perda de calor por radiação ( Q = varepsilon sigma A (T^4 - Tamb^4) ):
T = 227 + 273,15 = 500,15 K
Onde:
  • Tamb = 27 + 273,15 = 300,15 K é a temperatura da placa em Kelvin.
  • é a temperatura ambiente em Kelvin.
Precisamos converter as temperaturas de Celsius para Kelvin:

Passo 6

A taxa de perda de calor também está relacionada à variação de temperatura da placa pelo tempo, usando a relação:
Q = m cp dTdt
Igualando as duas expressões para m cp dTdt = varepsilon sigma A (T^4 - Tamb^4) :

Passo 7

Agora, isolamos dTdt = varepsilon sigma Am cp (Tamb^4 - T^4) para obter a expressão desejada:
Essa é a expressão que descreve a taxa de variação da temperatura da placa com o tempo, considerando que a única forma de perda de calor é por radiação térmica.

Resposta

A taxa de variação da temperatura da placa com o tempo é dada por:
dTdt = varepsilon sigma Am cp ( Tamb^4 - T^4 )

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