Uma placa de liga de alumínio, aquecida até uma temperatura uniforme de , é resfriada enquanto permanece suspensa em posição vertical em uma sala cujo ar ambiente e a vizinhança se encontram a . A placa é quadrada, com de lado e 10 mm de espessura. Sua emissividade é . Propriedades do Alumínio a constante de Boltzmann.
(a) Desenvolva uma expressão para a taxa de variação de temperatura da placa com o tempo, admitindo que a temperatura seja uniforme em qualquer tempo.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos uma placa de liga de alumínio aquecida a uma temperatura inicial de e que está sendo resfriada em uma sala onde a temperatura ambiente é . A placa é quadrada, com lados de e espessura de . Queremos desenvolver uma expressão para a taxa de variação da temperatura da placa com o tempo ( ), assumindo que a temperatura é uniforme em qualquer instante de tempo.
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de transferência de calor, especificamente radiação térmica, além de propriedades termofísicas do alumínio. Vamos também utilizar a Lei de Stefan-Boltzmann para calcular a perda de calor por radiação.

Passo 2

Vamos começar identificando as propriedades da placa e as condições dadas:
  • Temperatura inicial da placa ( ):
  • Temperatura ambiente ( ):
  • Lado da placa ( ):
  • Espessura da placa ( ):
  • Emissividade ( ):
  • Densidade do alumínio ( ):
  • Calor específico ( ):
  • Constante de Stefan-Boltzmann ( ):
Vamos considerar que a única forma significativa de perda de calor é por radiação térmica.

Passo 3

Primeiro, calculamos a área da placa ( ) que está perdendo calor por radiação. Como a placa é quadrada:

Passo 4

Em seguida, determinamos a massa ( ) da placa. A massa pode ser calculada usando a densidade ( ) e o volume ( ) da placa:

Passo 5

Agora, aplicamos a Lei de Stefan-Boltzmann para calcular a taxa de perda de calor por radiação ( ):
Onde:
  • é a temperatura da placa em Kelvin.
  • é a temperatura ambiente em Kelvin.
Precisamos converter as temperaturas de Celsius para Kelvin:

Passo 6

A taxa de perda de calor também está relacionada à variação de temperatura da placa pelo tempo, usando a relação:
Igualando as duas expressões para :

Passo 7

Agora, isolamos para obter a expressão desejada:
Essa é a expressão que descreve a taxa de variação da temperatura da placa com o tempo, considerando que a única forma de perda de calor é por radiação térmica.

Resposta

A taxa de variação da temperatura da placa com o tempo é dada por:

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