Um cilindro de alumínio pesando 30 N , com 6 cm de diâmetro e 40 cm de comprimento, está caindo concentricamente através de uma luva vertical longa de 6,04 cm de diâmetro. A folga é preenchida com óleo SAE 50 a 20^circ C. Calcule a velocidade terminal de queda (aceleração nula). Desconsidere o arrasto do ar e admita uma distribuição linear de velocidades no óleo. Dica: São fornecidos diâmetros, não raios.

Passo 1

Vamos resolver um exercício de física que envolve o escoamento de fluidos viscosos. O problema nos dá um cilindro de alumínio caindo através de uma luva vertical preenchida com óleo SAE 50 a 20°C. Precisamos calcular a velocidade terminal de queda desse cilindro. Para isso, vamos precisar usar conceitos de força de arrasto viscoso e lei de Newton aplicada ao movimento do cilindro.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as forças envolvidas no movimento do cilindro. Quando o cilindro está caindo a uma velocidade terminal, a força para baixo (peso do cilindro) é equilibrada pela força de arrasto do óleo que atua para cima.

Passo 3

Sabemos que a força de arrasto viscoso Fd = pi eta L (ro^2 - ri^2)2 v para o movimento de um cilindro dentro de um tubo é dada por:
onde:
  • é a viscosidade dinâmica do óleo,
  • é o comprimento do cilindro,
  • e são os raios externos e internos do tubo e do cilindro, respectivamente,
  • é a velocidade do cilindro.

Passo 4

No equilíbrio de forças, o peso do cilindro é igual à força de arrasto:
P = Fd
Onde .

Passo 5

Vamos converter os diâmetros em raios:
  • Diâmetro do cilindro: 6 cm raio do cilindro
  • Diâmetro do tubo: 6,04 cm raio do tubo

Passo 6

O comprimento do cilindro .

Passo 7

A viscosidade dinâmica do óleo SAE 50 a 20°C é aproximadamente .

Passo 8

Substituindo os valores na equação do equilíbrio de forças:
30 = pi times 0,278 times 0,4 times (0,0302^2 - 0,03^2)2 v

Passo 9

Calculando a diferença dos quadrados dos raios:
0,0302^2 - 0,03^2 = 0,00091204 - 0,0009 = 0,00001204 , m^2

Passo 10

Substituindo de volta na equação:
30 = 3,1416 times 0,278 times 0,4 times 0,000012042 v
30 = 0,0042132 v
30 = 0,0042132 v

Passo 11

Isolando 30 = 0,0042132 v Rightarrow 2 v = 0,00421330 :
v = 0,00421360 = 7,02 times 10^-5 , m/s

Resposta

A velocidade terminal de queda do cilindro é aproximadamente .

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