As duas extremidades de uma haste de cobre em formato de
, com
de diâmetro, estão rigidamente fixadas em uma parede vertical. A temperatura da parede é mantida a
. O comprimento estendido da haste é
e ela está exposta ao ar a
. O coeficiente combinado de transferência de calor por radiação e convecção é de
. a) Calcule a temperatura do ponto médio haste. b) qual será a taxa de transferência de calor a partir da haste?
Passo 1
Então, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma haste de cobre em formato de “U”, com as extremidades presas numa parede que está a 93°C. A haste tem 0,6 metros de comprimento e está exposta ao ar que está a 38°C. A gente precisa calcular duas coisas: a temperatura no meio da haste e a taxa de transferência de calor dela para o ambiente. Para isso, vamos usar conceitos de transferência de calor por condução, convecção e radiação.
Passo 2
Primeiro, vamos focar na parte a) que pede a temperatura no ponto médio da haste. Para isso, a gente vai considerar que o sistema está em estado estacionário, ou seja, as temperaturas não mudam com o tempo.
Passo 3
A transferência de calor na haste ocorre principalmente por condução térmica, que é a passagem de calor através de um material sólido. A fórmula que descreve isso é a Lei de Fourier:
Onde:
-
é a taxa de transferência de calor, -
é a condutividade térmica do cobre, -
é a área da seção transversal da haste, -
é o gradiente de temperatura.
Passo 4
Como a haste está em formato de “U” e as extremidades estão a 93°C, enquanto o ar está a 38°C, há um equilíbrio de temperatura. No ponto médio, supondo simetria, a temperatura será a média das temperaturas das extremidades e do ambiente, mas precisamos considerar a perda de calor para o ambiente.
Passo 5
Vamos usar a condição de equilíbrio térmico, onde o calor conduzido ao longo da haste é igual ao calor perdido para o ambiente por convecção e radiação. A taxa de transferência de calor por convecção e radiação é dada por:
Onde:
-
é o coeficiente de transferência de calor (34 W/m²K), -
é a área da superfície da haste, -
é a temperatura na superfície da haste, -
é a temperatura do ar (38°C).
Passo 6
Para encontrar a temperatura no ponto médio (
), vamos igualar a transferência de calor conduzido pela haste à transferência de calor perdida pelo ambiente:
Onde
é o comprimento total da haste.
Passo 7
Simplificando a equação, podemos cancelar a área
e rearranjar para encontrar
:
Passo 8
Agora, vamos isolar
:
Passo 9
Agora, precisamos dos valores:
- Condutividade térmica do cobre (
): aproximadamente 400 W/m·K, -
: 93°C, -
: 38°C, -
: 34 W/m²K, -
: 0,6 m.
Substituindo:
Passo 10
Agora, para a parte b), queremos saber a taxa de transferência de calor a partir da haste. Podemos usar a fórmula de convecção e radiação que já mencionamos:
Primeiro, precisamos calcular a área da haste. A haste tem forma de “U”, então tem duas partes verticais e uma base. Vamos considerar toda a superfície exposta.
Passo 11
O diâmetro da haste é 0,6 cm, então o raio
é 0,003 m. A área superficial de um cilindro é:
Onde
é o diâmetro e
é o comprimento total.
Para o “U”, temos duas verticais e uma base, então:
Mas para simplificação, vamos considerar apenas a área lateral:
Substituindo:
Passo 12
Agora, calculando
:
Resposta
a) A temperatura no ponto médio da haste é aproximadamente 91,7 °C.
b) A taxa de transferência de calor a partir da haste é de aproximadamente 20,7 W.