As duas extremidades de uma haste de cobre em formato de U, com 0,6 cm de diâmetro, estão rigidamente fixadas em uma parede vertical. A temperatura da parede é mantida a 93^circ C. O comprimento estendido da haste é 0,6 m e ela está exposta ao ar a 38^circ C. O coeficiente combinado de transferência de calor por radiação e convecção é de 34 W / m^2 K. a) Calcule a temperatura do ponto médio haste. b) qual será a taxa de transferência de calor a partir da haste?

Passo 1

Então, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma haste de cobre em formato de “U”, com as extremidades presas numa parede que está a 93°C. A haste tem 0,6 metros de comprimento e está exposta ao ar que está a 38°C. A gente precisa calcular duas coisas: a temperatura no meio da haste e a taxa de transferência de calor dela para o ambiente. Para isso, vamos usar conceitos de transferência de calor por condução, convecção e radiação.

Passo 2

Primeiro, vamos focar na parte a) que pede a temperatura no ponto médio da haste. Para isso, a gente vai considerar que o sistema está em estado estacionário, ou seja, as temperaturas não mudam com o tempo.

Passo 3

A transferência de calor na haste ocorre principalmente por condução térmica, que é a passagem de calor através de um material sólido. A fórmula que descreve isso é a Lei de Fourier:
q = -k cdot A cdot dTdx
Onde:
  • é a taxa de transferência de calor,
  • é a condutividade térmica do cobre,
  • é a área da seção transversal da haste,
  • é o gradiente de temperatura.

Passo 4

Como a haste está em formato de “U” e as extremidades estão a 93°C, enquanto o ar está a 38°C, há um equilíbrio de temperatura. No ponto médio, supondo simetria, a temperatura será a média das temperaturas das extremidades e do ambiente, mas precisamos considerar a perda de calor para o ambiente.

Passo 5

Vamos usar a condição de equilíbrio térmico, onde o calor conduzido ao longo da haste é igual ao calor perdido para o ambiente por convecção e radiação. A taxa de transferência de calor por convecção e radiação é dada por:
Q = h cdot A cdot (Tsuperfície - Tambiente) í
Onde:
  • é o coeficiente de transferência de calor (34 W/m²K),
  • é a área da superfície da haste,
  • í é a temperatura na superfície da haste,
  • é a temperatura do ar (38°C).

Passo 6

Para encontrar a temperatura no ponto médio ( k cdot A cdot (Tparedes - Tmeio)L/2 = h cdot A cdot (Tmeio - Tambiente) ), vamos igualar a transferência de calor conduzido pela haste à transferência de calor perdida pelo ambiente:
Onde é o comprimento total da haste.

Passo 7

Simplificando a equação, podemos cancelar a área k cdot 2(Tparedes - Tmeio)L = h cdot (Tmeio - Tambiente) e rearranjar para encontrar 2k(Tparedes - Tmeio) = hL(Tmeio - Tambiente) :

Passo 8

Agora, vamos isolar 2k cdot Tparedes - 2k cdot Tmeio = hL cdot Tmeio - hL cdot Tambiente :
2k cdot Tparedes + hL cdot Tambiente = Tmeio (2k + hL)
Tmeio = 2k cdot Tparedes + hL cdot Tambiente2k + hL

Passo 9

Agora, precisamos dos valores:
  • Condutividade térmica do cobre ( Tmeio = 2 times 400 times 93 + 34 times 0,6 times 382 times 400 + 34 times 0,6 ): aproximadamente 400 W/m·K,
  • Tmeio = 74400 + 775,2800 + 20,4 = 75175,2820,4 approx 91,7°C : 93°C,
  • : 38°C,
  • : 34 W/m²K,
  • : 0,6 m.
Substituindo:

Passo 10

Agora, para a parte b), queremos saber a taxa de transferência de calor a partir da haste. Podemos usar a fórmula de convecção e radiação que já mencionamos:
Q = h cdot A cdot (Tmeio - Tambiente)
Primeiro, precisamos calcular a área da haste. A haste tem forma de “U”, então tem duas partes verticais e uma base. Vamos considerar toda a superfície exposta.

Passo 11

O diâmetro da haste é 0,6 cm, então o raio A = pi d L é 0,003 m. A área superficial de um cilindro é:
A = pi d Lvertical times 2 + pi (d2)^2 times 2
Onde A approx pi d L é o diâmetro e A = pi times 0,006 times 0,6 approx 0,0113 , m² é o comprimento total.
Para o “U”, temos duas verticais e uma base, então:
Mas para simplificação, vamos considerar apenas a área lateral:
Substituindo:
²

Passo 12

Agora, calculando Q = 34 times 0,0113 times (91,7 - 38) approx 34 times 0,0113 times 53,7 approx 20,7 , W :

Resposta

a) A temperatura no ponto médio da haste é aproximadamente 91,7 °C.
b) A taxa de transferência de calor a partir da haste é de aproximadamente 20,7 W.

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