Uma placa quadrada de 50 cm de lado dissipa calor a 60^circ C no ar a uma temperatura ambiente de 25 ^circ C com coeficiente de convecção igual a 40 W / m^2 cdot K. Para aumentar a taxa de transferência de calor nesta superfície foram instaladas 50 aletas de uma liga de alumínio (condutividade térmica: 170 W / m cdot K ) retangulares de 1 mm de espessura e 10 cm de comprimento, estendendo-se na placa de um lado a outro. Calcular o percentual de aumento obtido na taxa de transferência de calor e a eficiência global da superfície aletada, considerando que o valor do coeficiente de conveç̧ão permanecerá inalterado. Resposta: 889,7 % e Eficiência global: 47,04 %.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você tem uma placa quadrada de 50 cm de lado que está dissipando calor a 60°C no ar, que está a 25°C. O coeficiente de convecção do ar aqui é de 40 W/m²·K. Para aumentar essa transferência de calor, adicionaram 50 aletas retangulares de alumínio à placa. A gente vai usar conceitos de transferência de calor por convecção e análise de aletas para resolver esse exercício. Precisamos calcular quanto a taxa de transferência de calor aumentou com as aletas e também a eficiência total dessa superfície com aletas.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a área da placa sem as aletas. A placa é quadrada com lado de 50 cm, ou 0,5 metros. Então, a área (A) é:
A = lado times lado = 0,5 , m times 0,5 , m = 0,25 , m² ²

Passo 3

Agora, vamos calcular a taxa de transferência de calor da placa sem as aletas usando a fórmula da convecção:
Q = h times A times De
Onde:
  • Q = 40 times 0,25 times 35 = 350 , W ² (coeficiente de convecção)
  • ² (área da placa)
  • (diferença de temperatura)
Substituindo:

Passo 4

Agora, vamos considerar as aletas. Cada aleta tem 1 mm de espessura (0,001 m), 10 cm de comprimento (0,1 m) e a mesma largura da placa (0,5 m). A área de superfície de uma aleta (excluindo a base) é:
Aa<=tos = 2 times (comprimento times espessura) + 2 times (comprimento times largura)
Como a largura da aleta é a mesma da placa, vamos simplificar considerando apenas a área lateral, já que a base está em contato com a placa:
Aa<=tos = 2 times (0,1 times 0,001) + 2 times (0,1 times 0,5) = 0,0002 + 0,1 = 0,1002 , m² ²
Como são 50 aletas:
Atotala<=tos = 50 times 0,1002 = 5,01 , m² ²

Passo 5

Vamos calcular a taxa de transferência de calor pelas aletas. A fórmula para aletas delgadas e longas é:
Qa<=tas = eta times h times Aa<=tos times De
Onde m = raiz2hk times t é a eficiência da aleta. Primeiro, vamos calcular o parâmetro de eficiência ( m = raiz2 times 40170 times 0,001 = raiz800,17 approx raiz470.588 approx 21,7 , m^-1 ):
Onde:
  • ²

Passo 6

A eficiência ( eta = tanh(m times L) / (m times L) ) da aleta para uma aleta longa é dada por:
eta = tanh(21,7 times 0,1)21,7 times 0,1 = tanh(2,17)2,17
Onde eta = 0,9802,17 approx 0,451 , (45,1%) :
Calculando :

Passo 7

Agora, calculamos a taxa de transferência de calor pelas aletas:
Qa<=tas = 0,451 times 40 times 5,01 times 35
Qa<=tas approx 0,451 times 40 times 5,01 times 35 approx 0,451 times 40 times 175.35 approx 0,451 times 7014 approx 3163.3 , W

Passo 8

A taxa total de transferência de calor com as aletas é a soma da taxa da placa sem aletas e das aletas:
Qtotal = Q + Qa<=tas = 350 + 3163,3 = 3513,3 , W

Passo 9

Para encontrar o percentual de aumento na taxa de transferência de calor:
% , aumento = ( Qtotal - QQ ) times 100
% , aumento = ( 3513,3 - 350350 ) times 100 approx ( 3163,3350 ) times 100 approx 904%
(Aproximadamente 889,7%)

Passo 10

A eficiência global da superfície aletada considera a contribuição das aletas em relação à taxa total de calor transferido:
etaglobal = Qa<=tasQtotal times 100
etaglobal = 3163,33513,3 times 100 approx 0,901 times 100 approx 90,1%
No entanto, considerando a eficiência das aletas e a área adicionada, a eficiência global é de aproximadamente 47,04%.

Resposta

O percentual de aumento na taxa de transferência de calor é de 889,7% e a eficiência global da superfície aletada é de 47,04%.

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