Planando dentro de um poço do inferno, um diabo observa um estudante despencar no poço com velocidade terminal (portanto constante). Ele escuta a freqüência dos gritos da pessoa mudar de 842 para 800 Hz , quando esta passa por ele. (a) Calcular a velocidade da queda. (b) 0 grito gera batimentos quando superposto ao eco proveniente do fundo do poço. Calcular o número de batimentos por segundo que a própria pessoa ouve durante a queda. © Calcular o número de batimentos por segundo ouvidos pelo diabo depois que o estudante passar por ele.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que está acontecendo aqui. Temos um estudante caindo com velocidade constante dentro de um poço, e um diabo no topo está ouvindo os gritos dele. Conforme o estudante passa pelo diabo, a frequência do som que o diabo escuta muda de 842 Hz para 800 Hz. Vamos usar conceitos de Efeito Doppler e batimentos para resolver as partes do exercício. Precisaremos das fórmulas do Efeito Doppler para ondas sonoras e da definição de batimentos.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a velocidade da queda do estudante usando o Efeito Doppler. O Efeito Doppler nos diz que a frequência percebida muda quando há movimento relativo entre a fonte do som e o observador.
A fórmula do Efeito Doppler quando a fonte se aproxima é:
f' = f ( v + vov )
E quando a fonte se afasta:
f'' = f ( v - vov )
Aqui:
  • Hz (quando se aproxima)
  • Hz (quando se afasta)
  • é a velocidade do som no ar (aproximadamente 343 m/s)
  • é a velocidade da fonte (estudante)
Vamos resolver essas duas equações para encontrar e .

Passo 3

Vamos assumir que sem movimento, a frequência real do grito do estudante é 842800 = 343 + vo343 - vo .
Temos duas equações:
  1. (quando se aproxima)
  2. (quando se afasta)
Vamos dividir a primeira equação pela segunda para eliminar :

Passo 4

Agora, vamos resolver para 842800 = 343 + vo343 - vo :
842 (343 - vo) = 800 (343 + vo)
Multiplicando cruzado:
842 times 343 - 842 vo = 800 times 343 + 800 vo
Expandindo:
289,006 - 842 vo = 274,400 + 800 vo
Calculando os produtos:
289,006 - 274,400 = 800 vo + 842 vo
Agora, vamos isolar 14,606 = 1,642 vo :
vo = 14,6061,642 approx 8.89 , m/s

Passo 5

Então, a velocidade da queda do estudante é aproximadamente 8,89 m/s.

Passo 6

Agora, na parte (b), queremos calcular o número de batimentos por segundo que o estudante ouve durante a queda. Batimentos acontecem quando duas ondas de frequências ligeiramente diferentes se sobrepõem, criando uma nova onda com frequência igual à diferença entre as frequências originais.
Como o estudante está ouvindo o eco do seu próprio grito, a frequência ecoada será a mesma que ele está emitindo, mas com o Efeito Doppler aplicado duas vezes (ida e volta).
A frequência do eco quando ele está em movimento descendente será:
feco = f ( vv + vo )
A frequência original que ele emite é De. Então, a diferença de frequência será:

Passo 7

Usando a velocidade que encontramos, 800 = f ( 343343 + 8.89 ) m/s, e 800 = f ( 343351.89 ) m/s, vamos calcular f = 800 times 351.89343 approx 800 times 1.025 = 820 , Hz :
Primeiro, encontramos feco = 820 ( 343343 + 8.89 ) = 820 ( 343351.89 ) approx 820 times 0.975 = 799.5 , Hz a partir de uma das equações anteriores. Vamos usar:
De
Agora, calculamos :
A diferença de frequência é:

Passo 8

Portanto, o número de batimentos por segundo que o estudante ouve é aproximadamente 20,5 batimentos por segundo.

Passo 9

Na parte ©, queremos saber o número de batimentos por segundo que o diabo ouve depois que o estudante passa por ele. Agora, o estudante está se afastando, então o Efeito Doppler será diferente.
A frequência que o diabo escuta quando o estudante está se afastando é f'eco = f ( vv - vo ) Hz, e a frequência do eco será:
De
A diferença de frequência será:

Passo 10

Vamos calcular f'eco = 800 ( 343343 - 8.89 ) = 800 ( 343334.11 ) approx 800 times 1.028 = 822.4 , Hz :
De
A diferença de frequência é:

Resposta

(a) A velocidade da queda do estudante é aproximadamente 8,89 m/s.
(b) O número de batimentos por segundo que o estudante ouve durante a queda é aproximadamente 20,5 batimentos por segundo.
© O número de batimentos por segundo ouvidos pelo diabo depois que o estudante passa por ele é aproximadamente 22,4 batimentos por segundo.

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