Três ondas senoidais de mesma frequência viajam ao longo de uma corda na direção positiva do eixo . Suas amplitudes são e , e suas constantes de fase são e , respectivamente. Calcule (a) a amplitude e (b) a constante de fase da onda resultante.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre três ondas senoidais que têm a mesma frequência e estão se movendo na mesma direção ao longo de uma corda. Cada onda tem uma amplitude diferente: , e , e também cada uma tem uma fase inicial distinta: , e , respectivamente. Nosso objetivo aqui é descobrir qual é a amplitude e a constante de fase da onda resultante quando essas três ondas se somam.
Vamos precisar usar conceitos de superposição de ondas e um pouco de matemática das ondas senoidais, especialmente envolvendo somas de funções trigonométricas com diferentes fases.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que quando temos múltiplas ondas se movendo na mesma direção e com a mesma frequência, a onda resultante é a soma algébrica dessas ondas. Matemáticamente, podemos escrever a onda resultante como:
Aqui, é a frequência angular e é o número de onda, mas como todas as ondas têm os mesmos e , podemos simplificar a notação focando apenas nas amplitudes e fases.
Passo 3
Para somar essas ondas, vamos usar a fórmula da soma de cossenos com diferentes fases. A fórmula geral para somar duas ondas é:
No nosso caso, temos três termos, mas podemos aplicar essa ideia passo a passo.
Passo 4
Vamos primeiro somar as duas primeiras ondas:
Usando a fórmula de soma:
Calculando a amplitude resultante:
Sabemos que , então:
A fase resultante é:
Passo 5
Agora, vamos adicionar a terceira onda à soma que já temos. A onda resultante até agora é: