Três ondas senoidais de mesma frequência viajam ao longo de uma corda na direção positiva do eixo x. Suas amplitudes são y0, y0 / 2 e y0 / 3, e suas constantes de fase são 0, pi / 2 e pi, respectivamente. Calcule (a) a amplitude e (b) a constante de fase da onda resultante.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre três ondas senoidais que têm a mesma frequência e estão se movendo na mesma direção ao longo de uma corda. Cada onda tem uma amplitude diferente: , e , e também cada uma tem uma fase inicial distinta: , e , respectivamente. Nosso objetivo aqui é descobrir qual é a amplitude e a constante de fase da onda resultante quando essas três ondas se somam.
Vamos precisar usar conceitos de superposição de ondas e um pouco de matemática das ondas senoidais, especialmente envolvendo somas de funções trigonométricas com diferentes fases.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que quando temos múltiplas ondas se movendo na mesma direção e com a mesma frequência, a onda resultante é a soma algébrica dessas ondas. Matemáticamente, podemos escrever a onda resultante Y(x,t) = y0 cos(omega t - kx + 0) + y02 cos(omega t - kx + pi2) + y03 cos(omega t - kx + pi) como:
Aqui, é a frequência angular e é o número de onda, mas como todas as ondas têm os mesmos e , podemos simplificar a notação focando apenas nas amplitudes e fases.

Passo 3

Para somar essas ondas, vamos usar a fórmula da soma de cossenos com diferentes fases. A fórmula geral para somar duas ondas é:
A cos(theta) + B cos(theta + phi) = raizA^2 + B^2 + 2ABcos(phi) cdot cos(theta + arctan(Bsin(phi)A + Bcos(phi)))
No nosso caso, temos três termos, mas podemos aplicar essa ideia passo a passo.

Passo 4

Vamos primeiro somar as duas primeiras ondas:
y1 = y0 cos(omega t - kx) + y02 cos(omega t - kx + pi2)
Usando a fórmula de soma:
A = y0, B = y02, phi = pi2
Calculando a amplitude resultante:
A1 = raizA^2 + B^2 + 2ABcos(phi) = raizy0^2 + (y02)^2 + 2 cdot y0 cdot y02 cdot cos(pi2)
Sabemos que A1 = raizy0^2 + (y02)^2 = raizy0^2 + y0^24 = raiz5y0^24 = y0raiz52 , então:
phi1 = arctan(Bsin(phi)A + Bcos(phi)) = arctan(y02 cdot 1y0 + y02 cdot 0) = arctan(y02y0) = arctan(12)
A fase resultante é:

Passo 5

Agora, vamos adicionar a terceira onda à soma que já temos. A onda resultante até agora é:
y1 = y0raiz52 cos(omega t - kx + arctan(12))
Vamos somar a terceira onda:
Y(x,t) = y1 + y03 cos(omega t - kx + pi)
Usando novamente a fórmula de soma:
A = y0raiz52, B = y03, phi = pi - arctan(12)
Calculando a nova amplitude:
A2 = raizA^2 + B^2 + 2ABcos(phi) = raiz(y0raiz52)^2 + (y03)^2 + 2 cdot y0raiz52 cdot y03 cdot cos(pi - arctan(12))
Sabemos que A2 = raiz5y0^24 + y0^29 - 2 cdot y0raiz52 cdot y03 cdot cos(arctan(12)) , então:
A2 = raiz5y0^24 + y0^29 - 2 cdot y0raiz52 cdot y03 cdot 2raiz5 = raiz5y0^24 + y0^29 - 4y0^26 = raiz45y0^2 + 20y0^2 - 40y0^236 = raiz25y0^236 = 5y06
Calculando phi2 = arctan(Bsin(phi)A + Bcos(phi)) = arctan(y03 cdot sin(pi - arctan(12))y0raiz52 + y03 cdot cos(pi - arctan(12))) , então:
phi2 = arctan(13 cdot 1raiz5raiz52 - 13 cdot 2raiz5) = arctan(13raiz53raiz56 - 23raiz5) = arctan(13raiz59raiz5 - 46raiz5) = arctan(2(9raiz5 - 4))
A constante de fase resultante é:
Simplificando, e considerando os valores trigonométricos, obtemos:
Esse valor de pode ser simplificado numericamente se desejado.

Resposta

A amplitude da onda resultante é e a constante de fase é .

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