O campo elétrico dirigido para baixo na atmosfera da Terra decresce em módulo com o crescimento da altitude acima da superfície. Suponha E=100 N/C a 200 m e 50 N/C a 300 m acima da superfície da Terra. O valor estimado da densidade de carga de volume média na atmosfera terrestre no intervalo de altitudes 200 a 300 m é dado por:
Alternativas.
a.
b.
c.
d.
e.
Alternativas.
a.
b.
c.
d.
e.
Passo 1
Vamos começar entendendo o que a questão está nos pedindo. Temos que o campo elétrico na atmosfera da Terra está direcionado para baixo e diminui de intensidade conforme aumentamos a altitude. Nos foram fornecidos dois valores do campo elétrico: 100 N/C a 200 metros de altitude e 50 N/C a 300 metros. O objetivo é encontrar a densidade de carga de volume média na atmosfera terrestre entre essas altitudes.
Para resolver isso, vamos precisar entender Lei de Gauss e como ela relaciona o campo elétrico com a densidade de carga. Também vamos utilizar a ideia de derivada para calcular a variação do campo elétrico com a altitude.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é a Lei de Gauss. Ela nos diz que a divergência do campo elétrico E é igual à densidade de carga ρ dividida pela constante de permissividade do vácuo ε₀:
Como estamos lidando com uma variação apenas na direção vertical (altitude), podemos simplificar essa equação para uma dimensão:
Aqui, dE/dz representa a taxa de variação do campo elétrico em relação à altitude z.
Passo 3
Agora, precisamos calcular dE/dz, que é a variação do campo elétrico dividido pela variação da altitude. Temos dois pontos:
- A 200 m: E₁ = 100 N/C
- A 300 m: E₂ = 50 N/C
A variação da altitude (Δz) é:
A variação do campo elétrico (ΔE) é:
Então,
Passo 4
Agora que temos dE/dz, podemos calcular a densidade de carga ρ usando a equação da Lei de Gauss simplificada:
Sabemos que a constante de permissividade do vácuo ε₀ é aproximadamente 8,85 × 10^{-12} C²/(N \cdot m²).
Substituindo os valores:
Como a carga é negativa (direcionada para baixo), mas estamos interessados no valor absoluto da densidade de carga, consideramos:
Resposta
A densidade de carga de volume média na atmosfera terrestre entre 200 m e 300 m de altitude é aproximadamente
, correspondente à alternativa a.
Exercícios relacionados
Prob. 32 (Halliday): A atmosfera inferior da Terra contém íons negativos e positivos que são produzidos por elementos radioativos do solo e por raios cósmicos provenientes do espaço. Em uma certa região, a intensidade do campo elétrico atmosférico é
e o campo é dirigido verticalmente para baixo. Esse campo faz com que íons com uma unidade de carga positiva e uma densidade de
se movam para baixo, enquanto íons com uma unidade de carga negativa e uma densidade de
se movam para cima (Fig. 26-27). O valor experimental da condutividade do ar nessa região é
. Determine
(a) o módulo da densidade de corrente e
(b) a velocidade de deriva dos íons, supondo que é a mesma para íons positivos e negativos. Adicional: © Qual é o valor da corrente que atravessa um quadrado horizontal de aresta ?
(d) Qual seria a corrente se o quadrado fizer um ângulo de com um plano horizontal?
R. © . (d)
.
(a) o módulo da densidade de corrente e
(b) a velocidade de deriva dos íons, supondo que é a mesma para íons positivos e negativos. Adicional: © Qual é o valor da corrente que atravessa um quadrado horizontal de aresta
(d) Qual seria a corrente se o quadrado fizer um ângulo de
R. ©
Prob. 25 (Halliday): Um fio com uma resistência de
é esticado de tal forma que o comprimento se torna três vezes maior que o inicial. Determine a resistência do fio após a operação, supondo que a resistividade e a densidade do material permaneçam as mesmas. Adicional: (b) Suponha que após a operação o comprimento do fio é
e ao aplicar uma diferença de potencial de 5 V entre suas extremidades, se estabelece uma densidade de corrente de
. Qual é o valor da condutividade desse material? © Segundo a tabela
da pág. 141 , de que matéria está constituído o fio? R. (b)
. © Alumínio.
Considere o Campo elétrico produzido por uma esfera de raio
, carga
, mas que possui uma densidade volumétrica de carga não uniforme, dada por
. Utilizando a Lei de Gauss e determinando o campo elétrico em
, temos que:a. O campo elétrico cresce com exponencial de r
b. O campo elétrico decai com exponencial de rc. O campo elétrico é similar ao de uma carga pontual e decai com r r²d. O campo elétrico é nuloe. O campo elétrico é constante para r>R
b. O campo elétrico decai com exponencial de rc. O campo elétrico é similar ao de uma carga pontual e decai com r r²d. O campo elétrico é nuloe. O campo elétrico é constante para r>R
No planeta Newtonia, um pêndulo simples com um peso de massa
e um comprimento de 185 cm , quando libertado a partir do repouso, leva
para oscilar de um ângulo de
, e então volta a ter velocidade igual a zero. A circunferência de Newtonia mede 51.400 km . Qual é a massa do planeta Newtonia? Considere a constante gravitacional sendo
. (Valor: 1,5 )
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