O campo elétrico dirigido para baixo na atmosfera da Terra decresce em módulo com o crescimento da altitude acima da superfície. Suponha E=100 N/C a 200 m e 50 N/C a 300 m acima da superfície da Terra. O valor estimado da densidade de carga de volume média na atmosfera terrestre no intervalo de altitudes 200 a 300 m é dado por:
Alternativas.
a.
4,4 times 10^-12 C^- m^3
b.
7,3 times 10^-12 C / m^3
c.
2,2 times 10^-12 C / m^3
d.
8,85 times 10^-12 C^-3
e.
1,0 times 10^-12 C / m^3

Passo 1

Vamos começar entendendo o que a questão está nos pedindo. Temos que o campo elétrico na atmosfera da Terra está direcionado para baixo e diminui de intensidade conforme aumentamos a altitude. Nos foram fornecidos dois valores do campo elétrico: 100 N/C a 200 metros de altitude e 50 N/C a 300 metros. O objetivo é encontrar a densidade de carga de volume média na atmosfera terrestre entre essas altitudes.
Para resolver isso, vamos precisar entender Lei de Gauss e como ela relaciona o campo elétrico com a densidade de carga. Também vamos utilizar a ideia de derivada para calcular a variação do campo elétrico com a altitude.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a Lei de Gauss. Ela nos diz que a divergência do campo elétrico E é igual à densidade de carga ρ dividida pela constante de permissividade do vácuo ε₀:
nabla cdot E = rhovarepsilon0
Como estamos lidando com uma variação apenas na direção vertical (altitude), podemos simplificar essa equação para uma dimensão:
dEdz = rhovarepsilon0
Aqui, dE/dz representa a taxa de variação do campo elétrico em relação à altitude z.

Passo 3

Agora, precisamos calcular dE/dz, que é a variação do campo elétrico dividido pela variação da altitude. Temos dois pontos:
  • A 200 m: E₁ = 100 N/C
  • A 300 m: E₂ = 50 N/C
A variação da altitude (Δz) é:
De
A variação do campo elétrico (ΔE) é:
De
Então,
dEdz = De

Passo 4

Agora que temos dE/dz, podemos calcular a densidade de carga ρ usando a equação da Lei de Gauss simplificada:
rho = varepsilon0 cdot dEdz
Sabemos que a constante de permissividade do vácuo ε₀ é aproximadamente 8,85 × 10^{-12} C²/(N \cdot m²).
Substituindo os valores:
rho = 8,85 times 10^-12,C²/(N cdot m²) times (-0,5,N/(C cdot m)) = -4,425 times 10^-12,C/m³ ²²³
Como a carga é negativa (direcionada para baixo), mas estamos interessados no valor absoluto da densidade de carga, consideramos:
rho approx 4,4 times 10^-12,C/m³ ³

Resposta

A densidade de carga de volume média na atmosfera terrestre entre 200 m e 300 m de altitude é aproximadamente 4,4 times 10^-12 C / m^3, correspondente à alternativa a.

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