Num plano alfa, temos dois vetores a e b de mesma origem formando um ângulo theta. Se os módulos de a e b são, respectivamente, iguais a 3 u e 4 u , determine o módulo do vetor soma em cada um dos casos seguintes:
a) Theta=0^circ
b) Theta=90^circ
c) Theta=180^circ
d) Theta=60^circ

Passo 1

Então, temos dois vetores, a e b, que partem do mesmo ponto e formam um ângulo theta. Os comprimentos desses vetores são 3 unidades e 4 unidades, respectivamente. O objetivo é descobrir o módulo do vetor soma a + b em diferentes situações de theta: 0°, 90°, 180° e 60°. Para resolver isso, vamos usar a teoria da soma de vetores e a fórmula para o módulo da soma de dois vetores.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar como somar dois vetores. Quando somamos a e b, o resultado é um novo vetor c = a + b. O módulo desse vetor soma pode ser encontrado usando a seguinte fórmula:
|c| = raiz|a|^2 + |b|^2 + 2 cdot |a| cdot |b| cdot cos(theta)
Aqui, |a| e |b| são os módulos dos vetores a e b, e theta é o ângulo entre eles. Essa fórmula vem do teorema do cosseno aplicado ao triângulo formado pelos dois vetores e seu vetor soma.

Passo 3

Vamos aplicar a fórmula para cada caso específico de theta.
a) theta = 0^circ
Quando o ângulo entre os vetores é 0°, isso significa que eles estão na mesma direção. O cosseno de 0° é 1.
|c| = raiz3^2 + 4^2 + 2 cdot 3 cdot 4 cdot cos(0^circ) = raiz9 + 16 + 24 = raiz49 = 7
b) theta = 90^circ
Aqui, os vetores são perpendiculares. O cosseno de 90° é 0.
|c| = raiz3^2 + 4^2 + 2 cdot 3 cdot 4 cdot cos(90^circ) = raiz9 + 16 + 0 = raiz25 = 5
c) theta = 180^circ
Neste caso, os vetores estão em direções opostas. O cosseno de 180° é -1.
|c| = raiz3^2 + 4^2 + 2 cdot 3 cdot 4 cdot cos(180^circ) = raiz9 + 16 - 24 = raiz1 = 1
d) theta = 60^circ
Para um ângulo de 60°, o cosseno é 0,5.
|c| = raiz3^2 + 4^2 + 2 cdot 3 cdot 4 cdot cos(60^circ) = raiz9 + 16 + 12 = raiz37 approx 6,08

Resposta

a) 7 unidades
b) 5 unidades
c) 1 unidade
d) aproximadamente 6,08 unidades

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