Qual o ângulo entre os vetores:
& a=3 imath+3 jmath+3 k & b=2 imath+1 jmath+3 k

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para encontrar o ângulo entre dois vetores no espaço tridimensional. Aqui, estamos usando conceitos de produtos vetoriais e normas dos vetores. Para isso, vamos precisar calcular o produto escalar dos vetores e as normas de cada um deles.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os vetores dados:
a = 3 imath + 3 jmath + 3 k b = 2 imath + 1 jmath + 3 k

Passo 3

Agora, vamos calcular o produto escalar entre a e b. O produto escalar é dado por:
a cdot b = ax bx + ay by + az bz
Substituindo os valores:
a cdot b = (3)(2) + (3)(1) + (3)(3) = 6 + 3 + 9 = 18

Passo 4

Em seguida, precisamos calcular as normas (ou magnitudes) dos vetores a e b. A norma de um vetor v = vx imath + vy jmath + vz k é:
||v|| = raizvx^2 + vy^2 + vz^2
Calculando as normas:
||a|| = raiz3^2 + 3^2 + 3^2 = raiz9 + 9 + 9 = raiz27 = 3raiz3
||b|| = raiz2^2 + 1^2 + 3^2 = raiz4 + 1 + 9 = raiz14

Passo 5

Agora, utilizamos a fórmula para encontrar o cosseno do ângulo entre os vetores:
cos theta = a cdot b||a|| , ||b||
Substituindo os valores que calculamos:
cos theta = 183raiz3 times raiz14 = 183raiz42 = 6raiz42
Para simplificar, racionalizamos o denominador:
6raiz42 times raiz42raiz42 = 6raiz4242 = raiz427

Passo 6

Finalmente, para encontrar o ângulo theta, usamos a função arco cosseno:
theta = arccos(raiz427)
Calculando esse valor (aproximadamente):
theta approx arccos(0,9759) approx 12^circ

Resposta

O ângulo entre os vetores a e b é aproximadamente 12 graus.

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