Ache o ângulo entre cada par de vetores:
(a)
e
(b)
e
©
e

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de encontrar o ângulo entre pares de vetores. Aqui, a gente vai usar a matéria de produto escalar entre vetores. Para isso, vamos precisar das componentes dos vetores e lembrar como calcular o ângulo usando a fórmula do produto escalar.

Passo 2

Primeiro, precisamos lembrar que o ângulo θ entre dois vetores e pode ser encontrado usando a seguinte fórmula:
Onde:
  • é o produto escalar dos vetores.
  • e são os módulos (ou comprimentos) dos vetores.

Passo 3

Vamos resolver cada item separadamente. Começando pelo item (a).
(a) e
Primeiro, calculamos o produto escalar :

Passo 4

Agora, vamos calcular os módulos dos vetores.
Para :
Para :

Passo 5

Agora, substituímos os valores na fórmula do cosseno do ângulo:
Para encontrar o ângulo θ, tiramos o arco cosseno:

Passo 6

Passando para o item (b).
(b) e
Calculamos o produto escalar:

Passo 7

Calculamos os módulos dos vetores.
Para :
Para :

Passo 8

Substituímos na fórmula do cosseno:
Calculando o ângulo:

Passo 9

Agora, vamos para o item ©.
© e
Calculamos o produto escalar:

Passo 10

Calculamos os módulos dos vetores.
Para :
Para :

Passo 11

Substituímos na fórmula do cosseno:
Quando o cosseno do ângulo é zero, isso significa que o ângulo é de 90 graus.

Resposta

(a) O ângulo entre e é aproximadamente .
(b) O ângulo entre e é aproximadamente .
© O ângulo entre e é .

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Qual o ângulo entre os vetores:
Se , determine .
Num plano alfa, temos dois vetores e de mesma origem formando um ângulo . Se os módulos de e são, respectivamente, iguais a 3 u e 4 u , determine o módulo do vetor soma em cada um dos casos seguintes:
a)
b)
c)
d)
(b) Escreva a equação de movimento para essa partícula e diga qual será a sua posição e velocidade no instante .