Ache o ângulo entre cada par de vetores:
(a)
e
(b)
e
©
e
(a)
e
(b)
e
©
e
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de encontrar o ângulo entre pares de vetores. Aqui, a gente vai usar a matéria de produto escalar entre vetores. Para isso, vamos precisar das componentes dos vetores e lembrar como calcular o ângulo usando a fórmula do produto escalar.
Passo 2
Primeiro, precisamos lembrar que o ângulo θ entre dois vetores
e
pode ser encontrado usando a seguinte fórmula:
Onde:
-
é o produto escalar dos vetores. -
e são os módulos (ou comprimentos) dos vetores.
Passo 3
Vamos resolver cada item separadamente. Começando pelo item (a).
(a)
e
Primeiro, calculamos o produto escalar
:
Passo 4
Agora, vamos calcular os módulos dos vetores.
Para
:
Para
:
Passo 5
Agora, substituímos os valores na fórmula do cosseno do ângulo:
Para encontrar o ângulo θ, tiramos o arco cosseno:
Passo 6
Passando para o item (b).
(b)
e
Calculamos o produto escalar:
Passo 7
Calculamos os módulos dos vetores.
Para
:
Para
:
Passo 8
Substituímos na fórmula do cosseno:
Calculando o ângulo:
Passo 9
Agora, vamos para o item ©.
©
e
Calculamos o produto escalar:
Passo 10
Calculamos os módulos dos vetores.
Para
:
Para
:
Passo 11
Substituímos na fórmula do cosseno:
Quando o cosseno do ângulo é zero, isso significa que o ângulo é de 90 graus.
Resposta
(a) O ângulo entre
e
é aproximadamente
.
(b) O ângulo entre
e
é aproximadamente
.
© O ângulo entre
e
é
.
Exercícios relacionados
Qual o ângulo entre os vetores:
Se
, determine
.
Num plano alfa, temos dois vetores
e
de mesma origem formando um ângulo
. Se os módulos de
e
são, respectivamente, iguais a 3 u e 4 u , determine o módulo do vetor soma em cada um dos casos seguintes:
a)
b)
c)
d)
a)
b)
c)
d)
(b) Escreva a equação de movimento para essa partícula e diga qual será a sua posição e velocidade no instante
.