Ache o ângulo entre cada par de vetores:
(a) A=-2,0 imath+6,0 jmath
e B=2,0 imath-3,0 jmath
(b) A=3,0 imath+5,0 jmath
e B=10,0 imath+6,0 jmath
© A=-4,0 imath+2,0 jmath
e B=7,0 imath+14,0 jmath

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de encontrar o ângulo entre pares de vetores. Aqui, a gente vai usar a matéria de produto escalar entre vetores. Para isso, vamos precisar das componentes dos vetores e lembrar como calcular o ângulo usando a fórmula do produto escalar.

Passo 2

Primeiro, precisamos lembrar que o ângulo θ entre dois vetores cos(theta) = A cdot B|A| cdot |B| e pode ser encontrado usando a seguinte fórmula:
Onde:
  • é o produto escalar dos vetores.
  • e são os módulos (ou comprimentos) dos vetores.

Passo 3

Vamos resolver cada item separadamente. Começando pelo item (a).
(a) A cdot B = (-2,0) times 2,0 + 6,0 times (-3,0) = -4,0 -18,0 = -22,0 e
Primeiro, calculamos o produto escalar :

Passo 4

Agora, vamos calcular os módulos dos vetores.
Para |A| = raiz(-2,0)^2 + 6,0^2 = raiz4,0 + 36,0 = raiz40,0 approx 6,3246 :
|B| = raiz2,0^2 + (-3,0)^2 = raiz4,0 + 9,0 = raiz13,0 approx 3,6056
Para :

Passo 5

Agora, substituímos os valores na fórmula do cosseno do ângulo:
cos(theta) = -22,06,3246 times 3,6056 approx -22,022,7846 approx -0,964
Para encontrar o ângulo θ, tiramos o arco cosseno:
theta = arccos(-0,964) approx 164,6^circ

Passo 6

Passando para o item (b).
(b) A cdot B = 3,0 times 10,0 + 5,0 times 6,0 = 30,0 + 30,0 = 60,0 e
Calculamos o produto escalar:

Passo 7

Calculamos os módulos dos vetores.
Para |A| = raiz3,0^2 + 5,0^2 = raiz9,0 + 25,0 = raiz34,0 approx 5,8309 :
|B| = raiz10,0^2 + 6,0^2 = raiz100,0 + 36,0 = raiz136,0 approx 11,6619
Para :

Passo 8

Substituímos na fórmula do cosseno:
cos(theta) = 60,05,8309 times 11,6619 approx 60,067,918 approx 0,883
Calculando o ângulo:
theta = arccos(0,883) approx 28,0^circ

Passo 9

Agora, vamos para o item ©.
© A cdot B = (-4,0) times 7,0 + 2,0 times 14,0 = -28,0 + 28,0 = 0,0 e
Calculamos o produto escalar:

Passo 10

Calculamos os módulos dos vetores.
Para |A| = raiz(-4,0)^2 + 2,0^2 = raiz16,0 + 4,0 = raiz20,0 approx 4,4721 :
|B| = raiz7,0^2 + 14,0^2 = raiz49,0 + 196,0 = raiz245,0 approx 15,6525
Para :

Passo 11

Substituímos na fórmula do cosseno:
cos(theta) = 0,04,4721 times 15,6525 = 0
Quando o cosseno do ângulo é zero, isso significa que o ângulo é de 90 graus.
theta = 90^circ

Resposta

(a) O ângulo entre e é aproximadamente .
(b) O ângulo entre e é aproximadamente .
© O ângulo entre e é .

Exercícios relacionados