No plano cartesiano, a reta ® de equação y + kx = 2 é perpendicular à reta (s) que passa pela origem e pelo ponto (– 5, 1). O ponto de intersecção das retas ® e (s) tem abscissa.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos duas retas no plano cartesiano:
- A reta $ r $ com a equação $ y + kx = 2 $.
- A reta $ s $ que passa pela origem $ (0,0) $ e pelo ponto $ (-5, 1) $.
Sabemos que as retas $ r $ e $ s $ são perpendiculares. Nossa missão é encontrar a abscissa (o valor de $ x $) do ponto de intersecção dessas duas retas. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre coeficientes angulares de retas e a condição de perpendicularidade entre elas.
Passo 2
Primeiro, vamos determinar o coeficiente angular da reta $ s $. Lembrando que o coeficiente angular $ m $ de uma reta que passa por dois pontos $ (x_1, y_1) $ e $ (x_2, y_2) $ é dado por:
Aqui, os pontos são $ (0,0) $ e $ (-5, 1) $. Então,
Passo 3
Agora, sabemos que as retas são perpendiculares. A condição para duas retas serem perpendiculares é que o produto de seus coeficientes angulares seja igual a $ -1 $. Ou seja,
Já temos $ m_s = -\frac{1}{5} $. Vamos encontrar $ m_r $, o coeficiente angular da reta $ r $.
Passo 4
A equação da reta $ r $ é $ y + kx = 2 $. Vamos colocá-la na forma $ y = mx + b $ para identificar o coeficiente angular $ m_r $.
Então, $ m_r = -k $.
Passo 5
Aplicando a condição de perpendicularidade:
Passo 6
Agora que encontramos $ k = -5 $, podemos determinar a equação da reta $ r $:
Passo 7
Para encontrar o ponto de intersecção das retas $ r $ e $ s $, vamos igualar suas equações. Já temos a equação de $ r $ em forma de $ y $, vamos agora encontrar a equação de $ s $.
Sabendo que a reta $ s $ passa pela origem e pelo ponto $ (-5, 1) $, e já calculamos seu coeficiente angular $ m_s = -\frac{1}{5} $, a equação de $ s $ é:
Agora, igualamos com a equação de $ r $:
Resposta
A abscissa do ponto de intersecção das retas $ r $ e $ s $ é $ x = -\frac{5}{13} $.