Se o plano for um dielétrico (isolante) de espessura . É possível utilizar Gauss para calcular o campo em e ? Se sim, qual seria?

Passo 1

Beleza, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos um plano que é um dielétrico, ou seja, um material isolante, com uma espessura . A pergunta é: dá para usar a Lei de Gauss para calcular o campo elétrico nas três regiões especificadas: , e ? E se sim, qual seria o campo elétrico em cada uma dessas regiões?
Para resolver isso, vamos precisar entender a Lei de Gauss, que é uma ferramenta poderosa para calcular campos elétricos quando temos simetria adequada. Também precisamos saber como o campo se comporta dentro e fora de um dielétrico.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar a Lei de Gauss. Ela diz que o fluxo elétrico total através de uma superfície fechada é igual à carga elétrica total dentro dessa superfície dividida pela permissividade do vácuo ( ):
Essa lei é especialmente útil quando o campo elétrico tem simetria, como em casos de planos infinitos, esferas ou cilindros.

Passo 3

Agora, pensando no nosso dielétrico plano com espessura , vamos visualizar as três regiões:
  1. Região 1: — acima do dielétrico.
  2. Região 2: — dentro do dielétrico.
  3. Região 3: — abaixo do dielétrico.
Queremos encontrar o campo elétrico em cada uma dessas regiões.

Passo 4

Vamos aplicar a Lei de Gauss em cada região. Para isso, precisamos escolher uma superfície gaussiana adequada que aproveite a simetria do problema. Neste caso, como temos um plano infinito, vamos assumir que o campo elétrico só depende da coordenada e é perpendicular ao plano.
Região 1: e Região 3:
Nessas regiões, o campo elétrico deve ser uniforme e perpendicular ao plano. Vamos considerar uma superfície gaussiana em forma de caixa com uma face na região desejada e a outra face no espelho simétrico.
Região 2:
Dentro do dielétrico, precisamos levar em conta a polarização do material, que afeta o campo elétrico.

Passo 5

Vamos calcular o campo em cada região.
Região 1 e Região 3:
Como o dielétrico é simétrico e infinito, o campo elétrico fora do dielétrico será igual em magnitude e oposto em direção acima e abaixo do dielétrico. Aplicando a Lei de Gauss:
Aqui, é a densidade de carga superficial e é a área da face da superfície gaussiana. Simplificando:
Portanto, o campo elétrico nas Regiões 1 e 3 é:
O sinal positivo ou negativo depende da direção considerada.
Região 2:
Dentro do dielétrico, o campo elétrico é reduzido devido à polarização do material. A relação é:
Onde é a constante dielétrica do material. Se considerarmos que o dielétrico responde linearmente, podemos escrever:

Resposta

Sim, é possível usar a Lei de Gauss para calcular o campo elétrico nas três regiões. O campo elétrico é dado por:
Onde:
  • é a densidade de carga superficial,
  • é a permissividade do vácuo,
  • é a constante dielétrica do material,
  • é a direção do campo elétrico.

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