Se o plano for um dielétrico (isolante) de espessura
. É possível utilizar Gauss para calcular o campo em
e
? Se sim, qual seria?
Passo 1
Beleza, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos um plano que é um dielétrico, ou seja, um material isolante, com uma espessura
. A pergunta é: dá para usar a Lei de Gauss para calcular o campo elétrico nas três regiões especificadas:
,
e
? E se sim, qual seria o campo elétrico em cada uma dessas regiões?
Para resolver isso, vamos precisar entender a Lei de Gauss, que é uma ferramenta poderosa para calcular campos elétricos quando temos simetria adequada. Também precisamos saber como o campo se comporta dentro e fora de um dielétrico.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar a Lei de Gauss. Ela diz que o fluxo elétrico total através de uma superfície fechada é igual à carga elétrica total dentro dessa superfície dividida pela permissividade do vácuo (
):
Essa lei é especialmente útil quando o campo elétrico tem simetria, como em casos de planos infinitos, esferas ou cilindros.
Passo 3
Agora, pensando no nosso dielétrico plano com espessura
, vamos visualizar as três regiões:
- Região 1:
— acima do dielétrico. - Região 2:
— dentro do dielétrico. - Região 3:
— abaixo do dielétrico.
Queremos encontrar o campo elétrico
em cada uma dessas regiões.
Passo 4
Vamos aplicar a Lei de Gauss em cada região. Para isso, precisamos escolher uma superfície gaussiana adequada que aproveite a simetria do problema. Neste caso, como temos um plano infinito, vamos assumir que o campo elétrico só depende da coordenada
e é perpendicular ao plano.
Região 1:
e Região 3:
Nessas regiões, o campo elétrico deve ser uniforme e perpendicular ao plano. Vamos considerar uma superfície gaussiana em forma de caixa com uma face na região desejada e a outra face no espelho simétrico.
Região 2:
Dentro do dielétrico, precisamos levar em conta a polarização do material, que afeta o campo elétrico.
Passo 5
Vamos calcular o campo em cada região.
Região 1 e Região 3:
Como o dielétrico é simétrico e infinito, o campo elétrico fora do dielétrico será igual em magnitude e oposto em direção acima e abaixo do dielétrico. Aplicando a Lei de Gauss:
Aqui,
é a densidade de carga superficial e
é a área da face da superfície gaussiana. Simplificando:
Portanto, o campo elétrico nas Regiões 1 e 3 é:
O sinal positivo ou negativo depende da direção considerada.
Região 2:
Dentro do dielétrico, o campo elétrico é reduzido devido à polarização do material. A relação é:
Onde
é a constante dielétrica do material. Se considerarmos que o dielétrico responde linearmente, podemos escrever:
Resposta
Sim, é possível usar a Lei de Gauss para calcular o campo elétrico nas três regiões. O campo elétrico
é dado por:
Onde:
-
é a densidade de carga superficial, -
é a permissividade do vácuo, -
é a constante dielétrica do material, -
é a direção do campo elétrico.