Em um plano inclinado que faz um ângulo de graus com a horizontal, solta-se do repouso um cilindro de massa e raio , e uma esfera de mesma massa e mesmo raio. Se os dois corpos descem o plano sem escorregar, qual chegará primeiro? Dados: momento de inercia esfera , disco

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre um plano inclinado com um ângulo de graus em relação à horizontal. Nele, soltamos um cilindro e uma esfera, ambos com a mesma massa e raio , e eles descem sem escorregar. Nosso objetivo é descobrir qual dos dois chega primeiro no final do plano. Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos de física como força, aceleração e momento de inércia.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que quando um objeto desce um plano inclinado sem escorregar, ele está rolando. Isso significa que a energia potencial inicial se transforma em energia cinética de translação e de rotação. Para cada objeto, temos que considerar seu momento de inércia ( ), que nos ajuda a entender como a massa está distribuída em relação ao eixo de rotação.

Passo 3

A força que faz o objeto descer é a componente do peso na direção do plano inclinado, que é . Essa força causa uma aceleração tanto na translação quanto na rotação. A equação que relaciona essas forças com a aceleração é:
Onde é a força de atrito que impede o escorregamento e é a aceleração do objeto.

Passo 4

Como o objeto está rolando sem escorregar, a relação entre a aceleração linear e a aceleração angular é . Além disso, a torque causado pela força de atrito é:
Substituindo na equação, temos:

Passo 5

Voltando à primeira equação:
Vamos isolar :

Passo 6

Agora, precisamos calcular a aceleração para ambos os objetos usando seus momentos de inércia.
Para a esfera:
Substituindo na fórmula da aceleração:
Para o cilindro:
Substituindo na fórmula da aceleração:

Passo 7

Comparando as acelerações:
A esfera tem uma aceleração maior que o cilindro.

Resposta

A esfera chega primeiro ao final do plano inclinado.

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(d) ( )
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(b) ( ) 14