Em um plano inclinado que faz um ângulo de
graus com a horizontal, solta-se do repouso um cilindro de massa
e raio
, e uma esfera de mesma massa e mesmo raio. Se os dois corpos descem o plano sem escorregar, qual chegará primeiro? Dados: momento de inercia esfera
, disco
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre um plano inclinado com um ângulo de
graus em relação à horizontal. Nele, soltamos um cilindro e uma esfera, ambos com a mesma massa
e raio
, e eles descem sem escorregar. Nosso objetivo é descobrir qual dos dois chega primeiro no final do plano. Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos de física como força, aceleração e momento de inércia.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que quando um objeto desce um plano inclinado sem escorregar, ele está rolando. Isso significa que a energia potencial inicial se transforma em energia cinética de translação e de rotação. Para cada objeto, temos que considerar seu momento de inércia (
), que nos ajuda a entender como a massa está distribuída em relação ao eixo de rotação.
Passo 3
A força que faz o objeto descer é a componente do peso na direção do plano inclinado, que é
. Essa força causa uma aceleração tanto na translação quanto na rotação. A equação que relaciona essas forças com a aceleração é:
Onde
é a força de atrito que impede o escorregamento e
é a aceleração do objeto.
Passo 4
Como o objeto está rolando sem escorregar, a relação entre a aceleração linear
e a aceleração angular
é
. Além disso, a torque causado pela força de atrito é:
Substituindo
na equação, temos:
Passo 5
Voltando à primeira equação:
Vamos isolar
:
Passo 6
Agora, precisamos calcular a aceleração para ambos os objetos usando seus momentos de inércia.
Para a esfera:
Substituindo na fórmula da aceleração:
Para o cilindro:
Substituindo na fórmula da aceleração:
Passo 7
Comparando as acelerações:
A esfera tem uma aceleração maior que o cilindro.
Resposta
A esfera chega primeiro ao final do plano inclinado.
Exercícios relacionados
Três massas
são colocadas nas posições
e
. Calcule o momento de inércia em relação aos eixos
.
Calcule o momento de inércia de uma chapa fina de lado
girando em torno de um eixo perpendicular à chapa, que passa pelo seu centro de massa.
A embalagem de uma fita adesiva traz a seguinte especificação:
, significando que tem
de largura e 10 m de comprimento. A especificação correta deveria ser:
(d) ( )
(d) ( )
O número de algarismo significativos da medida
é
(b) ( ) 14
(b) ( ) 14