Três massas
são colocadas nas posições
e
. Calcule o momento de inércia em relação aos eixos
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de momento de inércia! O enunciado diz que temos três massas
colocadas nas posições
,
e
. Nosso objetivo é calcular o momento de inércia em relação aos eixos
,
e
. Para isso, vamos precisar da fórmula do momento de inércia para pontos materiais.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é momento de inércia. Ele é uma medida de como a massa está distribuída em relação a um eixo de rotação. A fórmula básica para o momento de inércia de um ponto de massa é:
onde:
-
é o momento de inércia, -
é a massa do ponto, -
é a distância perpendicular da massa ao eixo de rotação.
Passo 3
Vamos calcular o momento de inércia em relação ao eixo
. Para cada massa, precisamos encontrar a distância perpendicular ao eixo
.
-
Massa na posição
: - Distância ao eixo
: - Momento de inércia:
- Distância ao eixo
-
Massa na posição
: - Distância ao eixo
: - Momento de inércia:
- Distância ao eixo
-
Massa na posição
: - Distância ao eixo
: - Momento de inércia:
- Distância ao eixo
Agora, somamos os momentos de inércia de todas as massas em relação ao eixo
:
Passo 4
Vamos calcular o momento de inércia em relação ao eixo
. Seguindo o mesmo raciocínio:
-
Massa na posição
: - Distância ao eixo
: - Momento de inércia:
- Distância ao eixo
-
Massa na posição
: - Distância ao eixo
: - Momento de inércia:
- Distância ao eixo
-
Massa na posição
: - Distância ao eixo
: - Momento de inércia:
- Distância ao eixo
Somando os momentos de inércia:
Passo 5
Agora, vamos calcular o momento de inércia em relação ao eixo
. Para isso, a distância perpendicular ao eixo
é:
-
Massa na posição
: - Distância ao eixo
: - Momento de inércia:
- Distância ao eixo
-
Massa na posição
: - Distância ao eixo
: - Momento de inércia:
- Distância ao eixo
-
Massa na posição
: - Distância ao eixo
: - Momento de inércia:
- Distância ao eixo
Somando os momentos de inércia:
Resposta
O momento de inércia das três massas em relação aos eixos
,
e
é:
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, significando que tem
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(d) ( )
(d) ( )