Três massas m são colocadas nas posições (0,0,0),(L, 0,0) e (0, L, 0). Calcule o momento de inércia em relação aos eixos (x, y, z).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de momento de inércia! O enunciado diz que temos três massas colocadas nas posições , e . Nosso objetivo é calcular o momento de inércia em relação aos eixos , e . Para isso, vamos precisar da fórmula do momento de inércia para pontos materiais.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é momento de inércia. Ele é uma medida de como a massa está distribuída em relação a um eixo de rotação. A fórmula básica para o momento de inércia de um ponto de massa é:
I = m cdot r^2
onde:
  • é o momento de inércia,
  • é a massa do ponto,
  • é a distância perpendicular da massa ao eixo de rotação.

Passo 3

Vamos calcular o momento de inércia em relação ao eixo Ix = 0 + 0 + mL^2 = mL^2 . Para cada massa, precisamos encontrar a distância perpendicular ao eixo .
  • Massa na posição :
    • Distância ao eixo :
    • Momento de inércia:
  • Massa na posição :
    • Distância ao eixo :
    • Momento de inércia:
  • Massa na posição :
    • Distância ao eixo :
    • Momento de inércia:
Agora, somamos os momentos de inércia de todas as massas em relação ao eixo :

Passo 4

Vamos calcular o momento de inércia em relação ao eixo Iy = 0 + mL^2 + 0 = mL^2 . Seguindo o mesmo raciocínio:
  • Massa na posição :
    • Distância ao eixo :
    • Momento de inércia:
  • Massa na posição :
    • Distância ao eixo :
    • Momento de inércia:
  • Massa na posição :
    • Distância ao eixo :
    • Momento de inércia:
Somando os momentos de inércia:

Passo 5

Agora, vamos calcular o momento de inércia em relação ao eixo r = raizx^2 + y^2 . Para isso, a distância perpendicular ao eixo Iz = 0 + mL^2 + mL^2 = 2mL^2 é:
  • Massa na posição :
    • Distância ao eixo :
    • Momento de inércia:
  • Massa na posição :
    • Distância ao eixo :
    • Momento de inércia:
  • Massa na posição :
    • Distância ao eixo :
    • Momento de inércia:
Somando os momentos de inércia:

Resposta

O momento de inércia das três massas em relação aos eixos Ix = mL^2, Iy = mL^2, Iz = 2mL^2 , e é:

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