Considere uma certa mola que não obedece rigorosamente à lei de Hooke. Uma das extremidades da mola é mantida fixa. Para manter a mola comprimida ou esticada a uma distância x, é necessário aplicar uma força na extremi- dade livre da mola ao longo do eixo x com módulo dado por Fx=k x-b x^2+c x^3. Aqui, k=100 N / m, b=700 N / m^2 e c=12000 N / m^3.
c) É mais fácil comprimir ou esticar essa mola? Explique por que, em termos da dependência de Fx com x. (Muitas molas reais se comportam qualitativamente do mesmo modo.)

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma mola que não segue exatamente a Lei de Hooke, ou seja, a força aplicada não é simplesmente proporcional ao deslocamento. A força necessária para comprimir ou esticar a mola é dada por $ F_{x} = kx - bx^{2} + cx^{3} $, onde $ k = 100 , N/m $, $ b = 700 , N/m^{2} $ e $ c = 12000 , N/m^{3} $. A pergunta é: é mais fácil comprimir ou esticar essa mola? Vamos resolver isso passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a expressão da força $ F_{x} = kx - bx^{2} + cx^{3} $. Aqui, $ x $ representa o deslocamento da mola: positivo para esticar e negativo para comprimir.
  • $ kx $: Termo linear, proporcional ao deslocamento. É o termo clássico da Lei de Hooke.
  • $ -bx^{2} $: Termo quadrático, que adiciona uma dependência não linear negativa.
  • $ +cx^{3} $: Termo cúbico, adicionando uma dependência não linear positiva.
Esses termos adicionais (quadrático e cúbico) fazem com que o comportamento da mola seja mais complexo do que uma mola ideal.

Passo 3

Agora, vamos analisar como a força $ F_{x} $ varia com $ x $ tanto para esticar ($ x > 0 Fx x < 0 $) a mola.
Para esticar a mola ($ x > 0 $):
x
Para comprimir a mola ($ x < 0 $):
Vamos substituir $ x $ por $ -x $ na expressão:
x > 0
x < 0

Passo 4

Vamos observar como a força muda com o aumento de $ x $:
Esticando ($ x > 0 $):
À medida que $ x $ aumenta, os termos $ -700x^{2} $ e $ +12000x^{3} $ influenciam a força. Inicialmente, o termo quadrático pode diminuir a força, mas o termo cúbico, que cresce rapidamente, acaba aumentando a força para valores maiores de $ x $.
Comprimindo ($ x < 0 $):
Aqui, todos os termos contribuem para uma força negativa que aumenta em magnitude com $ x $ negativo. O termo cúbico ($ -12000x^{3} $) faz com que a força aumente muito mais rapidamente em magnitude à medida que a mola é comprimida.

Passo 5

Para ver qual ação (compressão ou esticamento) é mais fácil, devemos comparar a força necessária para cada caso:
  • Esticar a mola: A força necessária inicialmente aumenta com $ x $, mas devido ao termo cúbico positivo, para deslocamentos maiores a força aumenta rapidamente.
  • Comprimir a mola: A força necessária para comprimir a mola aumenta muito mais rapidamente devido ao termo cúbico negativo, tornando a compressão mais “resistida”.

Resposta

É mais fácil esticar essa mola do que comprimi-la. Isso acontece porque, ao esticar, a força aumenta de forma menos intensa comparada à compressão, já que os termos quadrático e cúbico na equação de força $ F_{x} = kx - bx^{2} + cx^{3} $ causam um aumento mais rápido da força quando a mola é comprimida. Assim, a compressão exige mais força para deslocamentos iguais, tornando-a mais difícil que o esticamento.

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