En el plano oxy, sea C el circulo de centro en el origen y radio 5. Sea la función definida en todo el plano f tal que f(x, y) = { x^2 + y^2, se (x, y) ∈ C; x^2 + y + 12, se (x, y) não ∈ C }. Tratandose de polinomios la función es contínua en el interior de C y en el exterior de C. Se desea analizar la frontera F de C.
Entre los puntos hallados en a), se toma el punto (a,b) situado en el primer cuadrante.
i. Mostrar que f_x(a, b) existe y dar su valor.
ii. Mostrar que f_y(a, b) no existe; para ello se calcularán f_y(a, b^-)y f_y(a, b^+)que resultaran diferentes.

Passo 1

Vamos resumir o que a questão está pedindo. Temos um círculo no plano com centro na origem e raio 5. A função é definida de duas maneiras diferentes dependendo de onde o ponto está em relação a esse círculo:
  • Se está no círculo , então .
  • Se está fora do círculo , então .
Queremos analisar a fronteira do círculo , especialmente no ponto que está no primeiro quadrante. Vamos abordar duas partes:
i. Mostrar que a derivada parcial de em relação a no ponto existe e determinar seu valor.
ii. Mostrar que a derivada parcial de em relação a no ponto não existe, calculando e , que serão diferentes.

Passo 2

Vamos começar com a parte i: Mostrar que existe e dar seu valor.
Primeiro, precisamos entender o que é a derivada parcial de em relação a , denotada por . A derivada parcial em relação a mede a taxa de variação de quando apenas varia, mantendo constante.
No ponto , que está na fronteira , a função pode ser expressa de duas maneiras dependendo de como nos aproximamos do ponto:
  • Se estivermos dentro de , usamos .
  • Se estivermos fora de , usamos .
Para que exista, os limites das derivadas parciais vindas de dentro e de fora de devem ser iguais.

Passo 3

Vamos calcular a derivada parcial de em relação a vindo de dentro de :
No ponto :

Passo 4

Agora, calculamos a derivada parcial de em relação a vindo de fora de :
No ponto :

Passo 5

Como as derivadas parciais vindas de dentro e de fora de são iguais ( ), concluímos que existe e seu valor é .

Passo 6

Agora, vamos para a parte ii: Mostrar que não existe, calculando e .
Primeiro, entendemos que é a derivada parcial de em relação a , ou seja, a taxa de variação de quando apenas varia, mantendo constante.

Passo 7

Vamos calcular , que é a derivada parcial de em relação a vindo de dentro de :
No ponto :

Passo 8

Agora, calculamos , que é a derivada parcial de em relação a vindo de fora de :
No ponto :

Passo 9

Comparando os dois valores:
Como (a menos que , mas o ponto está no primeiro quadrante e no raio 5, então ), as derivadas parciais em relação a vindas de dentro e de fora de são diferentes. Portanto, não existe.

Resposta

i. A derivada parcial de em relação a no ponto existe e é igual a .
ii. A derivada parcial de em relação a no ponto não existe, pois é diferente de .

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