En el plano oxy, sea C el circulo de centro en el origen y radio 5. Sea la función definida en todo el plano f tal que
. Tratandose de polinomios la función es contínua en el interior de C y en el exterior de C. Se desea analizar la frontera F de C.
Entre los puntos hallados en a), se toma el punto (a,b) situado en el primer cuadrante.
i. Mostrar que
existe y dar su valor.
ii. Mostrar que
no existe; para ello se calcularán
y
que resultaran diferentes.
Entre los puntos hallados en a), se toma el punto (a,b) situado en el primer cuadrante.
i. Mostrar que
ii. Mostrar que
Passo 1
Vamos resumir o que a questão está pedindo. Temos um círculo
no plano
com centro na origem e raio 5. A função
é definida de duas maneiras diferentes dependendo de onde o ponto
está em relação a esse círculo:
- Se
está no círculo , então . - Se
está fora do círculo , então .
Queremos analisar a fronteira
do círculo
, especialmente no ponto
que está no primeiro quadrante. Vamos abordar duas partes:
i. Mostrar que a derivada parcial de em relação a
no ponto
existe e determinar seu valor.
ii. Mostrar que a derivada parcial de em relação a
no ponto
não existe, calculando
e
, que serão diferentes.
i. Mostrar que a derivada parcial de
ii. Mostrar que a derivada parcial de
Passo 2
Vamos começar com a parte i: Mostrar que
existe e dar seu valor.
Primeiro, precisamos entender o que é a derivada parcial de
em relação a
, denotada por
. A derivada parcial em relação a
mede a taxa de variação de
quando apenas
varia, mantendo
constante.
No ponto
, que está na fronteira
, a função
pode ser expressa de duas maneiras dependendo de como nos aproximamos do ponto:
- Se estivermos dentro de
, usamos . - Se estivermos fora de
, usamos .
Para que
exista, os limites das derivadas parciais vindas de dentro e de fora de
devem ser iguais.
Passo 3
Vamos calcular a derivada parcial de
em relação a
vindo de dentro de
:
No ponto
:
Passo 4
Agora, calculamos a derivada parcial de
em relação a
vindo de fora de
:
No ponto
:
Passo 5
Como as derivadas parciais vindas de dentro e de fora de
são iguais (
), concluímos que
existe e seu valor é
.
Passo 6
Agora, vamos para a parte ii: Mostrar que
não existe, calculando
e
.
Primeiro, entendemos que
é a derivada parcial de
em relação a
, ou seja, a taxa de variação de
quando apenas
varia, mantendo
constante.
Passo 7
Vamos calcular
, que é a derivada parcial de
em relação a
vindo de dentro de
:
No ponto
:
Passo 8
Agora, calculamos
, que é a derivada parcial de
em relação a
vindo de fora de
:
No ponto
:
Passo 9
Comparando os dois valores:
Como
(a menos que
, mas o ponto está no primeiro quadrante e no raio 5, então
), as derivadas parciais em relação a
vindas de dentro e de fora de
são diferentes. Portanto,
não existe.
Resposta
i. A derivada parcial de
em relação a
no ponto
existe e é igual a
.
ii. A derivada parcial de
em relação a
no ponto
não existe, pois
é diferente de
.
Exercícios relacionados
Sejam as funções reais
e
. Obtenha a lei que define
.
Hallar las derivadas parciales de:
Prove que cada função abaixo é bijetora e determine sua inversa.
En las siguientes funciones comprobar que las derivadas parciales mixtas son iguales:
con