En las siguientes funciones comprobar que las derivadas parciales mixtas son iguales:
f(x, y) = 1/y * cos(x^2) con y ≠ 0

Passo 1

Esse exercício pede para a gente verificar se as derivadas parciais mistas de uma função são iguais. Estamos estudando derivadas parciais na matéria de cálculo multivariável. Para resolver, vamos precisar calcular as derivadas parciais de primeiro em relação a e , e depois as derivadas mistas e .

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a derivada parcial de em relação a , ou seja, . A função é:
Como é constante em relação a , derivamos apenas :
Então,

Passo 3

Agora, vamos derivar em relação a para obter :
Derivando com relação a :
Portanto,

Passo 4

Agora, vamos calcular a derivada parcial de em relação a , ou seja, :
Derivando com relação a :
Então,

Passo 5

Por último, vamos derivar em relação a para obter :
Derivando com relação a :
Portanto,

Resposta

As derivadas parciais mistas e são iguais e valem:

Exercícios relacionados

Prove que cada função abaixo é bijetora e determine sua inversa.
En el plano oxy, sea C el circulo de centro en el origen y radio 5. Sea la función definida en todo el plano f tal que f(x, y) = { x^2 + y^2, se (x, y) ∈ C; x^2 + y + 12, se (x, y) não ∈ C }. Tratandose de polinomios la función es contínua en el interior de C y en el exterior de C. Se desea analizar la frontera F de C.
Entre los puntos hallados en a), se toma el punto (a,b) situado en el primer cuadrante.
i. Mostrar que f_x(a, b) existe y dar su valor.
ii. Mostrar que f_y(a, b) no existe; para ello se calcularán f_y(a, b^-)y f_y(a, b^+)que resultaran diferentes.
(b) A = {x in R | x <= 2} e B = {y ∈ R | y ≥ -1}
f: A -> B tal que f(x) = x^2 - 4x + 3
Hallar las derivadas parciales segundas de:
f(x, y, z) = x * y + y * z + z * x