Em uma planta de processamento de alimentos, mel é bombeado em um espaço anular de comprimento e com raio interno e raio externo .
A diferença de pressão aplicada é e a viscosidade do mel é . O perfil teórico de velocidade para o escoamento laminar através de um espaço anular é:
Mostre que a condição de não deslizamento é satisfeita por essa expressão. Determine a localização em que a tensão de cisalhamento é zero. Determine a força viscosa atuando nas superfícies interna e externa, e compare esses valores com a força De. Explique.
Passo 1
Vamos entender o que a questão está pedindo. Estamos analisando o fluxo laminar de mel em um espaço anular (um espaço entre dois cilindros concêntricos) com comprimento uz(r) = 14 mu ( De, raio interno e raio externo . A diferença de pressão aplicada é e a viscosidade do mel é .
Vamos usar a expressão dada para o perfil de velocidade no fluxo laminar:
Vamos precisar verificar a condição de não deslizamento, encontrar onde a tensão de cisalhamento é zero, calcular a força viscosa nas superfícies e comparar com a força dada pela diferença de pressão.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar a condição de não deslizamento. A condição de não deslizamento afirma que a velocidade do fluido na superfície das paredes é igual à velocidade da parede. Se as paredes estão estacionárias, a velocidade do fluido deve ser zero nas paredes internas e externas.
Vamos calcular uz(Ri) = 14 mu ( De para uz(Ri) = 14 mu ( De e ln(1) = 0 Rightarrow uz(Ri) = 0 :
Para uz(Re) = 14 mu ( De:
ln(ReRi) = -ln(RiRe) Rightarrow uz(Re) = 14 mu ( De
uz(Re) = 14 mu ( De
Agora, para :
Isso mostra que a velocidade é zero tanto na superfície interna quanto na externa, satisfazendo a condição de não deslizamento.
Passo 3
Agora, vamos encontrar onde a tensão de cisalhamento é zero. A tensão de cisalhamento tau(r) = mu duzdr está relacionada ao gradiente de velocidade:
duzdr = 14 mu ( De
Para encontrar onde -2r - Re^2 - Ri^2ln(RiRe) cdot 1r = 0 , precisamos encontrar onde -2r^2 = Re^2 - Ri^2ln(RiRe) .
Vamos calcular a derivada de r^2 = -Re^2 - Ri^22 ln(RiRe) em relação a r = raiz -Re^2 - Ri^22 ln(RiRe) :
Igualando a zero:
Como , e , então . Portanto, a localização onde é:
Passo 4
Vamos determinar a força viscosa atuando nas superfícies internas e externas. A força viscosa F = tau cdot A é dada por:
tau(Ri) = mu duzdr |r=Ri
onde tau(Ri) = mu [ -2Ri - Re^2 - Ri^2ln(RiRe) cdot 1Ri ] é a área da superfície.
Primeiro, calculamos Ai = 2pi Ri L nas superfícies:
Para a superfície interna ( Fi = tau(Ri) cdot Ai ):
Portanto, a força viscosa na superfície interna é:
Fe = tau(Re) cdot Ae
De maneira similar, para a superfície externa ():
E a área da superfície externa é:
Então, a força viscosa na superfície externa é:
Passo 5
Agora, vamos comparar essas forças viscosa FDe e com a força resultante da diferença de pressão, que é:
A comparação nos mostra como a força viscosa contribui para equilibrar a força aplicada pela diferença de pressão no sistema. Em um fluxo estacionário, a soma das forças deve ser igual a zero, ou seja, .
Resposta
A expressão do perfil de velocidade satisfaz a condição de não deslizamento, já que e . A tensão de cisalhamento é zero na posição . As forças viscosas atuando nas superfícies internas e externas igualam a força resultante da diferença de pressão , demonstrando o equilíbrio das forças no fluxo laminar do mel no espaço anular.