Em uma planta de processamento de alimentos, mel é bombeado em um espaço anular de comprimento e com raio interno e raio externo .
A diferença de pressão aplicada é e a viscosidade do mel é . O perfil teórico de velocidade para o escoamento laminar através de um espaço anular é:
Mostre que a condição de não deslizamento é satisfeita por essa expressão. Determine a localização em que a tensão de cisalhamento é zero. Determine a força viscosa atuando nas superfícies interna e externa, e compare esses valores com a força . Explique.
Passo 1
Vamos entender o que a questão está pedindo. Estamos analisando o fluxo laminar de mel em um espaço anular (um espaço entre dois cilindros concêntricos) com comprimento , raio interno e raio externo . A diferença de pressão aplicada é e a viscosidade do mel é .
Vamos usar a expressão dada para o perfil de velocidade no fluxo laminar:
Vamos precisar verificar a condição de não deslizamento, encontrar onde a tensão de cisalhamento é zero, calcular a força viscosa nas superfícies e comparar com a força dada pela diferença de pressão.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar a condição de não deslizamento. A condição de não deslizamento afirma que a velocidade do fluido na superfície das paredes é igual à velocidade da parede. Se as paredes estão estacionárias, a velocidade do fluido deve ser zero nas paredes internas e externas.
Vamos calcular para e :
Para :
Agora, para :
Isso mostra que a velocidade é zero tanto na superfície interna quanto na externa, satisfazendo a condição de não deslizamento.
Passo 3
Agora, vamos encontrar onde a tensão de cisalhamento é zero. A tensão de cisalhamento está relacionada ao gradiente de velocidade:
Para encontrar onde , precisamos encontrar onde .
Vamos calcular a derivada de em relação a :
Igualando a zero:
Como , e , então . Portanto, a localização onde é:
Passo 4
Vamos determinar a força viscosa atuando nas superfícies internas e externas. A força viscosa é dada por:
onde é a área da superfície.
Primeiro, calculamos nas superfícies:
Para a superfície interna ():
Usando a derivada calculada anteriormente:
A área da superfície interna é:
Portanto, a força viscosa na superfície interna é:
De maneira similar, para a superfície externa ():
E a área da superfície externa é:
Então, a força viscosa na superfície externa é:
Passo 5
Agora, vamos comparar essas forças viscosa e com a força resultante da diferença de pressão, que é:
A comparação nos mostra como a força viscosa contribui para equilibrar a força aplicada pela diferença de pressão no sistema. Em um fluxo estacionário, a soma das forças deve ser igual a zero, ou seja, .
Resposta
A expressão do perfil de velocidade satisfaz a condição de não deslizamento, já que e . A tensão de cisalhamento é zero na posição . As forças viscosas atuando nas superfícies internas e externas igualam a força resultante da diferença de pressão , demonstrando o equilíbrio das forças no fluxo laminar do mel no espaço anular.