Um raio luminoso partindo do foco da parábola
, faz um ângulo agudo
com o eixo
. Sabe-se que
. Ao atingir a parábola, o raio é refletido por ela. Formar a equação da reta que dá a trajetória do raio refletido.
Passo 1
Vamos resumir o que o exercício pede: temos uma parábola representada pela equação
e um raio de luz que parte do foco dessa parábola, formando um ângulo
agudo com o eixo
, onde
. Quando esse raio atinge a parábola, ele é refletido. Nosso objetivo é encontrar a equação da reta que representa a trajetória do raio refletido.
Para resolver esse problema, vamos precisar usar conceitos de Geometria Analítica, como a equação da parábola, propriedades do foco, equação da reta, e o princípio da reflexão, que diz que o ângulo de incidência é igual ao ângulo de reflexão em relação à normal da superfície no ponto de impacto.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar o foco da parábola
. Sabemos que a equação geral de uma parábola com eixo horizontal é
, onde
é a distância do vértice ao foco. Comparando com a nossa equação, temos:
Portanto, o foco está no ponto
.
Passo 3
Agora, vamos determinar a equação da reta incidente, ou seja, a trajetória do raio de luz antes de atingir a parábola. Sabemos que o raio parte do foco
e forma um ângulo
com o eixo
, onde
.
A inclinação da reta é dada por
. Usando a forma da equação da reta que passa por um ponto
com inclinação
:
Substituindo os valores:
Então, a equação da reta incidente é
.
Passo 4
Em seguida, precisamos encontrar o ponto de interseção entre a reta incidente e a parábola
. Para isso, substituímos
da equação da reta na equação da parábola:
Vamos resolver essa equação passo a passo:
Igualando à outra parte da equação:
Dividindo toda a equação por 3 para simplificar:
Resolvendo a equação quadrática usando a fórmula de Bhaskara:
As soluções são:
Como o ponto inicial é o foco
, descartamos
pois não corresponde ao ponto de interseção. Portanto, o ponto de interseção é
. Substituindo na equação da reta para encontrar
:
Então, o ponto de interseção é
.
Passo 5
Agora, precisamos encontrar a reta normal à parábola no ponto de interseção
. Primeiro, vamos determinar a derivada da equação da parábola para encontrar a inclinação da tangente nesse ponto.
A equação da parábola é
. Derivando ambos os lados em relação a
:
No ponto
:
Portanto, a inclinação da tangente é
. A inclinação da normal, que é perpendicular à tangente, é o negativo do inverso da inclinação da tangente:
Então, a equação da reta normal é:
Passo 6
Agora, vamos aplicar a lei da reflexão, que diz que o ângulo de incidência é igual ao ângulo de reflexão em relação à normal. Para isso, precisamos calcular a inclinação da reta refletida
.
A fórmula para a inclinação da reta refletida é:
Onde
é a inclinação da reta incidente e
é a inclinação da normal.
Substituindo os valores:
Simplificando a fração:
Passo 7
Finalmente, vamos escrever a equação da reta refletida utilizando a inclinação
e passando pelo ponto de interseção
:
Simplificando a fração:
Multiplicando numerador e denominador por 1:
Podemos simplificar a fração
dividindo numerador e denominador por 19:
Como não há divisão exata, mantemos a equação na forma fracionária:
Resposta
A equação da reta que representa a trajetória do raio refletido é:
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será um número real não nulo para:
Plote os seguintes cilindros em
:
Plote o gráfico das seguintes funções:
Indique a lei de
para cada uma das transformações lineares: