Um raio luminoso partindo do foco da parábola y^2=12 x, faz um ângulo agudo alpha com o eixo O x. Sabe-se que tg alpha=34. Ao atingir a parábola, o raio é refletido por ela. Formar a equação da reta que dá a trajetória do raio refletido.

Passo 1

Vamos resumir o que o exercício pede: temos uma parábola representada pela equação e um raio de luz que parte do foco dessa parábola, formando um ângulo agudo com o eixo , onde . Quando esse raio atinge a parábola, ele é refletido. Nosso objetivo é encontrar a equação da reta que representa a trajetória do raio refletido.
Para resolver esse problema, vamos precisar usar conceitos de Geometria Analítica, como a equação da parábola, propriedades do foco, equação da reta, e o princípio da reflexão, que diz que o ângulo de incidência é igual ao ângulo de reflexão em relação à normal da superfície no ponto de impacto.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar o foco da parábola 4p = 12 implies p = 3 . Sabemos que a equação geral de uma parábola com eixo horizontal é , onde é a distância do vértice ao foco. Comparando com a nossa equação, temos:
Portanto, o foco está no ponto .

Passo 3

Agora, vamos determinar a equação da reta incidente, ou seja, a trajetória do raio de luz antes de atingir a parábola. Sabemos que o raio parte do foco y - y0 = m (x - x0) e forma um ângulo y - 0 = 34 (x - 3) com o eixo y = 34x - 94 , onde .
A inclinação da reta é dada por . Usando a forma da equação da reta que passa por um ponto com inclinação :
Substituindo os valores:
Então, a equação da reta incidente é .

Passo 4

Em seguida, precisamos encontrar o ponto de interseção entre a reta incidente e a parábola ( 34x - 94 )^2 = 12x . Para isso, substituímos ( 34x - 94 )^2 = ( 3x - 94 )^2 = (3x - 9)^216 da equação da reta na equação da parábola:
(3x - 9)^216 = 12x
Vamos resolver essa equação passo a passo:
(3x - 9)^2 = 192x
Igualando à outra parte da equação:
9x^2 - 54x + 81 = 192x
9x^2 - 246x + 81 = 0
3x^2 - 82x + 27 = 0
x = 82 pm raiz82^2 - 4 cdot 3 cdot 272 cdot 3
Dividindo toda a equação por 3 para simplificar:
x = 82 pm raiz6724 - 3246
Resolvendo a equação quadrática usando a fórmula de Bhaskara:
x = 82 pm raiz64006
x = 82 pm 806
x1 = 82 + 806 = 1626 = 27
x2 = 82 - 806 = 26 = 13
As soluções são:
y = 34 cdot 13 - 94 = 14 - 94 = -2
Como o ponto inicial é o foco , descartamos pois não corresponde ao ponto de interseção. Portanto, o ponto de interseção é . Substituindo na equação da reta para encontrar :
Então, o ponto de interseção é .

Passo 5

Agora, precisamos encontrar a reta normal à parábola no ponto de interseção 2y dydx = 12 . Primeiro, vamos determinar a derivada da equação da parábola para encontrar a inclinação da tangente nesse ponto.
A equação da parábola é dydx = 122y = 6y . Derivando ambos os lados em relação a dydx = 6-2 = -3 :
mn = 13
y - y0 = mn (x - x0)
No ponto y + 2 = 13 ( x - 13 ) :
y + 2 = 13x - 19
Portanto, a inclinação da tangente é y = 13x - 19 - 2 . A inclinação da normal, que é perpendicular à tangente, é o negativo do inverso da inclinação da tangente:
y = 13x - 199
Então, a equação da reta normal é:

Passo 6

Agora, vamos aplicar a lei da reflexão, que diz que o ângulo de incidência é igual ao ângulo de reflexão em relação à normal. Para isso, precisamos calcular a inclinação da reta refletida mr = mn^2 - mi^21 + 2 mi mn - mn^2 .
A fórmula para a inclinação da reta refletida é:
mi = 34
Onde mn = 13 é a inclinação da reta incidente e mr = ( 13 )^2 - ( 34 )^21 + 2 cdot 34 cdot 13 - ( 13 )^2 é a inclinação da normal.
Substituindo os valores:
mr = 19 - 9161 + 612 - 19
mr = 16 - 8114436 + 18 - 1636
mr = -651443836
mr = -65144 cdot 3638
mr = -65 cdot 36144 cdot 38
mr = -23405472
mr = -195456 = -65152
Simplificando a fração:

Passo 7

Finalmente, vamos escrever a equação da reta refletida utilizando a inclinação y - y0 = mr (x - x0) e passando pelo ponto de interseção y + 2 = -65152 ( x - 13 ) :
y + 2 = -65152x + 65456
y = -65152x + 65456 - 2
y = -65152x - 847456
y = -65152x - 847456
847456 = 847 ÷ 19456 ÷ 19 = 44.57824
Simplificando a fração:
Multiplicando numerador e denominador por 1:
y = -65152x - 847456
Podemos simplificar a fração dividindo numerador e denominador por 19:
Como não há divisão exata, mantemos a equação na forma fracionária:

Resposta

A equação da reta que representa a trajetória do raio refletido é:
y = -65152x - 847456

Exercícios relacionados

(UFRS) O número Z=(m-3)+(m^2-9)i será um número real não nulo para:
Plote os seguintes cilindros em R^3 :
z=3+raiz8-x^2-2 x
Plote o gráfico das seguintes funções:
f(x, y)=raiz8-x^2+2 x-8 y^2
Indique a lei de T^-1 para cada uma das transformações lineares:
IV: V & V v & mapsto I
v mapsto IV(v)=v
T: Mat2 times 2(R) R^4