Plote os seguintes cilindros em R^3 :
z=raiz8-2 y^2-1

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado pede para plotar o cilindro definido pela equação em três dimensões ( ). Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre geometria analítica, especificamente sobre cilindros e como representar suas equações no espaço 3D. Vamos dar um passo de cada vez!

Passo 2

Primeiro, vamos analisar a equação dada: . Essa equação relaciona as coordenadas e , mas não menciona . Quando uma equação em não envolve uma das coordenadas, isso geralmente indica que essa coordenada pode assumir qualquer valor. No nosso caso, pode ser qualquer número real, o que significa que o cilindro se estende infinitamente ao longo do eixo .

Passo 3

Vamos simplificar a equação para entender melhor a forma do cilindro. Começamos isolando o termo com a raiz:
z + 1 = raiz8 - 2y^2
Agora, elevamos ambos os lados ao quadrado para eliminar a raiz:
(z + 1)^2 = 8 - 2y^2
Vamos reorganizar a equação para colocar todos os termos no mesmo lado:
(z + 1)^2 + 2y^2 = 8

Passo 4

Essa equação nos lembra a equação padrão de um elipsóide, que em duas dimensões é uma elipse. Aqui, essa equação descreve a seção transversal do cilindro em planos paralelos ao eixo . Isso significa que, para cada valor de , temos uma elipse no plano - .

Passo 5

Agora, vamos expressar a equação na forma padrão de uma elipse para facilitar o plot:
(z + 1)^28 + y^24 = 1
Aqui, percebemos que a elipse tem um semi-eixo maior de comprimento na direção e um semi-eixo menor de comprimento na direção . Isso nos dá uma ideia clara da forma da seção transversal do cilindro.

Passo 6

Para plotar o cilindro, podemos parametrizar as coordenadas y = 2 cos(theta) e z = 2raiz2 sin(theta) - 1 com base na equação da elipse e deixar x = t onde t in R variar livremente. Vamos usar um parâmetro para representar o ângulo na elipse:
Assim, para cada entre 0 e , e para qualquer valor de , teremos pontos no cilindro.

Passo 7

Com a parametrização pronta, podemos usar uma ferramenta de plotagem 3D, como o MATLAB, Python com matplotlib ou qualquer outro software de sua preferência, para desenhar o cilindro. Basta variar de 0 a e ao longo de um intervalo adequado para visualizar o cilindro completamente.

Resposta

Então, o cilindro definido pela equação y = 2 cos(theta) z = 2raiz2 sin(theta) - 1 x = t onde t in R pode ser plotado usando a parametrização:
Assim, ao traçar esses pontos em , obtemos o cilindro desejado, estendendo-se infinitamente ao longo do eixo com seções transversais elípticas no plano - .

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