Seja
tal que
. Indique:
onde
e
.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma transformação linear
definida por
. Queremos encontrar a matriz de representação de
em relação às bases
e
, onde:
- Base de entrada
: - Base de saída
:
Para resolver isso, vamos seguir alguns passos:
- Aplicar
a cada vetor da base . - Expressar os resultados em termos da base
. - Organizar os coeficientes obtidos em uma matriz que será
.
Passo 2
Primeiro, aplicamos a transformação
a cada vetor da base
.
-
Para
: -
Para
: -
Para
:
Agora temos as imagens dos vetores da base
através de
.
Passo 3
Agora, precisamos expressar cada resultado de
em termos da base
.
A base
é composta por
e
. Queremos achar coeficientes
e
tais que:
Vamos resolver para cada
:
-
Para
: Resolvendo esse sistema:- Da primeira equação:
- Substituindo na segunda:
Então,
- Da primeira equação:
-
Para
: Resolvendo:- Da primeira equação:
- Substituindo na segunda:
Então,
- Da primeira equação:
-
Para
: Resolvendo:- Da primeira equação:
- Substituindo na segunda:
Então,
- Da primeira equação:
Passo 4
Agora que temos os coeficientes para cada vetor, organizamos esses valores em colunas para formar a matriz de representação
.
- Para
: , → coluna - Para
: , → coluna - Para
: , → coluna
Então, a matriz
é:
Resposta
A matriz de representação de
em relação às bases
e
é: