Seja T: R^3 R^2 tal que T(x, y, z)=(x+y, x+z). Indique:
[T]D^C onde C=(1,0,0),(0,-1,0),(0,0,2) e D=(1,2),(3,5).

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma transformação linear definida por . Queremos encontrar a matriz de representação de em relação às bases e , onde:
  • Base de entrada :
  • Base de saída :
Para resolver isso, vamos seguir alguns passos:
  1. Aplicar a cada vetor da base .
  2. Expressar os resultados em termos da base .
  3. Organizar os coeficientes obtidos em uma matriz que será .

Passo 2

Primeiro, aplicamos a transformação T(v1) = T(1, 0, 0) = (1 + 0, 1 + 0) = (1, 1) a cada vetor da base T(v2) = T(0, -1, 0) = (0 + (-1), 0 + 0) = (-1, 0) .
  • Para T(v3) = T(0, 0, 2) = (0 + 0, 0 + 2) = (0, 2) :
  • Para :
  • Para :
Agora temos as imagens dos vetores da base através de .

Passo 3

Agora, precisamos expressar cada resultado de T(vi) = a cdot d1 + b cdot d2 = a(1,2) + b(3,5) = (a + 3b, 2a + 5b) em termos da base a + 3b = 1 2a + 5b = 1 .
A base 2(1 - 3b) + 5b = 1 Rightarrow 2 - 6b + 5b = 1 Rightarrow -b = -1 Rightarrow b = 1 é composta por a + 3b = -1 2a + 5b = 0 e 2(-1 - 3b) + 5b = 0 Rightarrow -2 -6b +5b = 0 Rightarrow -b = 2 Rightarrow b = -2 . Queremos achar coeficientes a + 3b = 0 2a + 5b = 2 e 2(-3b) + 5b = 2 Rightarrow -6b +5b = 2 Rightarrow -b = 2 Rightarrow b = -2 tais que:
Vamos resolver para cada :
  1. Para :
    Resolvendo esse sistema:
    • Da primeira equação:
    • Substituindo na segunda: Então,
  2. Para :
    Resolvendo:
    • Da primeira equação:
    • Substituindo na segunda: Então,
  3. Para :
    Resolvendo:
    • Da primeira equação:
    • Substituindo na segunda: Então,

Passo 4

Agora que temos os coeficientes para cada vetor, organizamos esses valores em colunas para formar a matriz de representação -2 1 .
  • Para 5 -2 : 6 -2 , [T]D^C = -2 & 5 & 6 1 & -2 & -2 → coluna
  • Para : , → coluna
  • Para : , → coluna
Então, a matriz é:

Resposta

A matriz de representação de [T]D^C = -2 & 5 & 6 1 & -2 & -2 em relação às bases e é:

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