Seja a transformação linear associada a matriz .
Ache uma base para N(T).
Passo 1
Então, vamos lá! A questão nos pede para encontrar uma base para o Núcleo da transformação linear 1 & 0 & 2 3 & 0 & -1 2 & 0 & 0 , que está associada à matriz
x y z
Isso significa que precisamos encontrar todos os vetores que, quando multiplicados pela matriz de , resultam no vetor zero. Para resolver isso, vamos usar o conceito de espaço nulo (Núcleo) e resolver o sistema de equações lineares correspondente.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever a equação 1x + 0y + 2z = 0 3x + 0y - 1z = 0 2x + 0y + 0z = 0 na forma de sistema de equações:
x + 2z = 0 3x - z = 0 2x = 0
Isso simplifica para:
Agora, vamos resolver esse sistema para encontrar os valores de , e .
Passo 3
Observando a terceira equação, temos , o que nos dá imediatamente .
Passo 4
Com 0 + 2z = 0 Rightarrow 2z = 0 Rightarrow z = 0 , substituímos na primeira equação:
Então, .
Passo 5
Agora, com 3(0) - 0 = 0 Rightarrow 0 = 0 e , vamos para a segunda equação:
Essa equação é sempre verdadeira e não nos dá nenhuma informação adicional sobre .
Passo 6
Como não temos restrições sobre , ele pode ser qualquer número real. Portanto, a variável é livre, ou seja, podemos atribuir a ela um parâmetro .
Passo 7
Agora, podemos expressar as soluções do sistema em termos de x y z = 0 t 0 :
[ 0 1 0
.
]
Isso significa que todo vetor no Núcleo de tem a forma , onde é um número real.
Resposta
Uma base para 0 1 0 é o conjunto formado pelo vetor