Para o poço de potencial retangular finito e para o oscilador harmônico escolha um estado estacionário e calcule a probabilidade de encontrar a partícula quântica entre x=xi e x=xf. Escolha convenientemente xi e xf, assim como os valores dos parâmetros que forem necessários.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos dois sistemas quânticos: o poço de potencial retangular finito e o oscilador harmônico. Para cada um, vamos escolher um estado estacionário e calcular a probabilidade de encontrar a partícula quântica entre dois pontos x = xi e x = xf. Para isso, precisaremos das funções de onda desses estados e entender como calcular probabilidades na mecânica quântica.

Passo 2

Vamos começar com o poço de potencial retangular finito. Este é um modelo onde a partícula está confinada em uma região com potencial finito, geralmente entre x = -a e x = a, e o potencial é zero fora dessa região. Os estados estacionários são soluções da equação de Schrödinger que têm energia bem definida.

Passo 3

Escolhendo o estado fundamental (a menor energia possível), a função de onda psi(x) dentro do poço ( -a <= x <= a) pode ser escrita como:
psi(x) = A cos(pi x2a)
fora do poço, a função decai exponencialmente.

Passo 4

Para simplificar, vamos escolher xi = -a/2 e xf = a/2, ou seja, vamos calcular a probabilidade de encontrar a partícula no meio do poço.

Passo 5

A probabilidade P de encontrar a partícula entre xi e xf é dada por:
P = integralxi^xf |psi(x)|^2 dx
Isso significa que precisamos integrar o quadrado da função de onda nesse intervalo.

Passo 6

Substituindo psi(x) na integral:
P = integral-a/2^a/2 | A cos(pi x2a) |^2 dx = A^2 integral-a/2^a/2 cos^2(pi x2a) dx
Usamos que |cos(theta)|^2 = cos^2(theta).

Passo 7

Calculando a integral de cos^2:
integral cos^2(kx) dx = x2 + sin(2kx)4k + C
onde k = pi2a.

Passo 8

Aplicando os limites de integração:
P = A^2 [ x2 + sin(pi xa)2pi/a ]-a/2^a/2
Simplificando:
P = A^2 [ a4 + 0 - ( -a4 + 0 ) ] = A^2 ( a2 )

Passo 9

Sabendo que a função de onda deve ser normalizada, temos:
integral-a^a |psi(x)|^2 dx = 1 Rightarrow A^2 cdot a2 = 1 Rightarrow A = raiz2a

Passo 10

Substituindo A na expressão da probabilidade:
P = ( raiz2a )^2 cdot a2 = 2a cdot a2 = 1
Isso significa que a probabilidade de encontrar a partícula entre -a/2 e a/2 é 1, ou seja, 100%.

Resposta

A probabilidade de encontrar a partícula entre x = -a2 e x = a2 no estado fundamental do poço de potencial retangular finito é 100%.

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