(Poço Quadrado Infinito) Resolva o problema do poço quadrado infinito para o caso em que o potencial está centrado em a, ou seja, quando
Mostre que esta solução é equivalente à obtida em sala de aula
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse problema do poço quadrado infinito onde o potencial está centrado em
. Basicamente, a gente tem que achar como as partículas (como elétrons) se comportam dentro desse poço. Vamos usar conceitos de mecânica quântica, especialmente a equação de Schrödinger para determinar as funções de onda e os níveis de energia possíveis. Pra isso, vamos precisar entender como a função de potencial
está definida e aplicar as condições de contorno apropriadas.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é o poço quadrado infinito. Ele é definido por um potencial que é zero dentro de um intervalo e infinito fora desse intervalo. No nosso caso, o poço está centrado em
, então temos:
Isso significa que a partícula está confinada entre
e
e não pode sair desse intervalo porque o potencial lá é infinito.
Passo 3
Agora, vamos usar a equação de Schrödinger independente do tempo:
Dentro do poço, onde
, a equação simplifica para:
Podemos reescrever isso como:
onde
.
Passo 4
A solução geral dessa equação diferencial é uma combinação de funções seno e cosseno:
Mas, precisamos aplicar as condições de contorno para determinar
e
. Como o potencial é infinito fora de
e
, as funções de onda devem ser zero nesses pontos:
Passo 5
Vamos aplicar a condição
:
Usando propriedades trigonométricas:
E a condição
:
Passo 6
Temos um sistema de duas equações:
Somando as duas equações:
Para que isso seja verdade, ou
ou
.
Passo 7
Se
, então a solução fica:
Aplicando a condição de contorno
:
Isso ocorre quando:
Então:
Passo 8
Agora, lembrando que
, podemos resolver para
:
Elevando ao quadrado ambos os lados:
Simplificando:
Passo 9
Então, a função de onda normalizada é:
para
Resposta
A solução do poço quadrado infinito centralizado em
é equivalente à obtida em sala de aula, com as funções de onda dadas por
e os níveis de energia
para
, confirmando que a centralização do potencial não altera a forma das soluções encontradas.