(Poço Quadrado Infinito) Resolva o problema do poço quadrado infinito para o caso em que o potencial está centrado em a, ou seja, quando
Mostre que esta solução é equivalente à obtida em sala de aula

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema do poço quadrado infinito onde o potencial está centrado em . Basicamente, a gente tem que achar como as partículas (como elétrons) se comportam dentro desse poço. Vamos usar conceitos de mecânica quântica, especialmente a equação de Schrödinger para determinar as funções de onda e os níveis de energia possíveis. Pra isso, vamos precisar entender como a função de potencial está definida e aplicar as condições de contorno apropriadas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é o poço quadrado infinito. Ele é definido por um potencial que é zero dentro de um intervalo e infinito fora desse intervalo. No nosso caso, o poço está centrado em , então temos:
Isso significa que a partícula está confinada entre e e não pode sair desse intervalo porque o potencial lá é infinito.

Passo 3

Agora, vamos usar a equação de Schrödinger independente do tempo:
Dentro do poço, onde , a equação simplifica para:
Podemos reescrever isso como:
onde .

Passo 4

A solução geral dessa equação diferencial é uma combinação de funções seno e cosseno:
Mas, precisamos aplicar as condições de contorno para determinar e . Como o potencial é infinito fora de e , as funções de onda devem ser zero nesses pontos:

Passo 5

Vamos aplicar a condição :
Usando propriedades trigonométricas:
E a condição :

Passo 6

Temos um sistema de duas equações:
Somando as duas equações:
Para que isso seja verdade, ou ou .

Passo 7

Se , então a solução fica:
Aplicando a condição de contorno :
Isso ocorre quando:
Então:

Passo 8

Agora, lembrando que , podemos resolver para :
Elevando ao quadrado ambos os lados:
Simplificando:

Passo 9

Então, a função de onda normalizada é:
para

Resposta

A solução do poço quadrado infinito centralizado em é equivalente à obtida em sala de aula, com as funções de onda dadas por
e os níveis de energia
para , confirmando que a centralização do potencial não altera a forma das soluções encontradas.

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