(Poço Quadrado Infinito) Resolva o problema do poço quadrado infinito para o caso em que o potencial está centrado em a, ou seja, quando
V(x)= 0, & se -a / 2 <= x <= a / 2 infty, & nos demais casos
Mostre que esta solução é equivalente à obtida em sala de aula

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema do poço quadrado infinito onde o potencial está centrado em . Basicamente, a gente tem que achar como as partículas (como elétrons) se comportam dentro desse poço. Vamos usar conceitos de mecânica quântica, especialmente a equação de Schrödinger para determinar as funções de onda e os níveis de energia possíveis. Pra isso, vamos precisar entender como a função de potencial está definida e aplicar as condições de contorno apropriadas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é o poço quadrado infinito. Ele é definido por um potencial que é zero dentro de um intervalo e infinito fora desse intervalo. No nosso caso, o poço está centrado em V(x)= 0, & se -a2 <= x <= a2 infty, & nos demais casos , então temos:
Isso significa que a partícula está confinada entre e e não pode sair desse intervalo porque o potencial lá é infinito.

Passo 3

Agora, vamos usar a equação de Schrödinger independente do tempo:
-hbar^22m d^2 psi(x)dx^2 + V(x)psi(x) = Epsi(x)
Dentro do poço, onde -hbar^22m d^2 psi(x)dx^2 = Epsi(x) , a equação simplifica para:
d^2 psi(x)dx^2 = -k^2 psi(x)
Podemos reescrever isso como:
onde .

Passo 4

A solução geral dessa equação diferencial é uma combinação de funções seno e cosseno:
psi(x) = A sin(kx) + B cos(kx)
Mas, precisamos aplicar as condições de contorno para determinar psi(-a2) = 0 e psi(a2) = 0 e . Como o potencial é infinito fora de e , as funções de onda devem ser zero nesses pontos:

Passo 5

Vamos aplicar a condição A sin(-k a2) + B cos(-k a2) = 0 :
- A sin(k a2) + B cos(k a2) = 0
Usando propriedades trigonométricas:
A sin(k a2) + B cos(k a2) = 0
E a condição :

Passo 6

Temos um sistema de duas equações:
  1. 2B cos(k a2) = 0
Somando as duas equações:
Para que isso seja verdade, ou ou .

Passo 7

Se psi(x) = A sin(kx) , então a solução fica:
sin(k a2) = 0
Aplicando a condição de contorno k a2 = npi onde n = 1, 2, 3, dots :
k = 2npia
Isso ocorre quando:
Então:

Passo 8

Agora, lembrando que raiz2mEhbar^2 = 2npia , podemos resolver para 2mEhbar^2 = (2npia)^2 :
E = 2mhbar^2a^2 cdot 4n^2pi^22m
Elevando ao quadrado ambos os lados:
E = n^2pi^2hbar^22m(a2)^2 = n^2pi^2hbar^22m a^2
Simplificando:

Passo 9

Então, a função de onda normalizada é:
psin(x) = raiz2a sin(npi xa)
para

Resposta

A solução do poço quadrado infinito centralizado em psin(x) = raiz2a sin(npi xa) é equivalente à obtida em sala de aula, com as funções de onda dadas por
En = n^2pi^2hbar^22m a^2
e os níveis de energia
para , confirmando que a centralização do potencial não altera a forma das soluções encontradas.

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