Primeiro, vamos entender o enunciado. Temos três subespaços L(cx y z) = [c2x - y 2z + y 2y - x + z] , e de , cada um com sua base específica. Além disso, há uma transformação linear definida por:
Nosso objetivo é encontrar as matrizes que representam as transformações lineares que levam vetores de uma base para outra, aplicando a transformação a cada vetor. Para fazer isso, precisaremos conhecer as bases dos subespaços e entender como aplicar a esses vetores.
Passo 2
Primeiro, vamos listar as bases de cada subespaço:
Base de SA = 1 0 1, -1 0 0, 1 1 1 :
SB = 1 2 -1, 1 -1 1, 0 0 1
Base de SC = 1 2 3, 0 1 0, 2 1 1 :
Base de :
Essas bases são compostas por vetores que servem para representar qualquer vetor nos respectivos subespaços.
Passo 3
Agora, vamos aplicar a transformação linear 1 0 1 a cada vetor das bases 2 cdot 1 - 0 &= 2 2 cdot 1 + 0 &= 2 2 cdot 0 - 1 + 1 &= 0 , 2 2 0 e -1 0 0.
Aplicando 2 cdot (-1) - 0 &= -2 2 cdot 0 + 0 &= 0 2 cdot 0 - (-1) + 0 &= 1 na base de -2 0 1:
Agora que aplicamos a transformação MA to B = 2 & -2 & 1 2 & 0 & 3 0 & 1 & 2 em todos os vetores das bases, podemos construir as matrizes das transformações lineares que mapeiam de uma base para outra.
Por exemplo, para a transformação que leva vetores da base MB to C = 0 & 3 & 0 0 & 1 & 8 2 & -2 & 6 para a base MC to A = 0 & -1 & 3 8 & 1 & 3 6 & 2 & 1 , a matriz será formada pelas coordenadas dos vetores transformados de expresso na base .
Matriz de de para :
Usamos os vetores transformados de :
Matriz de de para :
Usamos os vetores transformados de :
Matriz de de para :
Usamos os vetores transformados de :
Resposta
As matrizes das transformações lineares após aplicar MA to B = 2 & -2 & 1 2 & 0 & 3 0 & 1 & 2 , MB to C = 0 & 3 & 0 0 & 1 & 8 2 & -2 & 6 , MC to A = 0 & -1 & 3 8 & 1 & 3 6 & 2 & 1 são:
Essas matrizes representam as transformações que mapeiam vetores das bases para , para e para , respectivamente, após a aplicação da transformação linear .