Utilizando os subespaços A, B e C, com as seguintes bases, respectivamente,
SA=[l 1 0 1 ] ;[c -1 0 0 ] ;[l 1 1 1 ] SB=[c 1 2 -1 ] ;[c 1 -1 1 ] ;[l 0 0 1 ] SC[l 1 2 3 ] ;[l 0 1 0 ] ;[l 2 1 1 ]
e a transformação linear dada por L(lx y z)=[c2 x-y 2 z+y 2 y-x+z] :
Encontre as matrizes de transformações lineares que levam um vetor pertencente a cada uma das bases para cada uma das outras bases, com a transformação linear L(v) já realizada. Confira se as matrizes encontradas estão corretas, utilizando os vetores obtidos na letra (a) e verificando com os obtidos na letra ©.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o enunciado. Temos três subespaços L(cx y z) = [c2x - y 2z + y 2y - x + z] , e de , cada um com sua base específica. Além disso, há uma transformação linear definida por:
Nosso objetivo é encontrar as matrizes que representam as transformações lineares que levam vetores de uma base para outra, aplicando a transformação a cada vetor. Para fazer isso, precisaremos conhecer as bases dos subespaços e entender como aplicar a esses vetores.

Passo 2

Primeiro, vamos listar as bases de cada subespaço:
  • Base de SA = 1 0 1, -1 0 0, 1 1 1 :
    SB = 1 2 -1, 1 -1 1, 0 0 1
  • Base de SC = 1 2 3, 0 1 0, 2 1 1 :
  • Base de :
Essas bases são compostas por vetores que servem para representar qualquer vetor nos respectivos subespaços.

Passo 3

Agora, vamos aplicar a transformação linear 1 0 1 a cada vetor das bases 2 cdot 1 - 0 &= 2 2 cdot 1 + 0 &= 2 2 cdot 0 - 1 + 1 &= 0 , 2 2 0 e -1 0 0.
Aplicando 2 cdot (-1) - 0 &= -2 2 cdot 0 + 0 &= 0 2 cdot 0 - (-1) + 0 &= 1 na base de -2 0 1:
  1. 1 1 1:
    2 cdot 1 - 1 &= 1 2 cdot 1 + 1 &= 3 2 cdot 1 - 1 + 1 &= 2
    Resultado: 1 3 2
  2. 1 2 -1:
    2 cdot 1 - 2 &= 0 2 cdot (-1) + 2 &= 0 2 cdot 2 - 1 + (-1) &= 2
    Resultado: 0 0 2
  3. 1 -1 1:
    2 cdot 1 - (-1) &= 3 2 cdot 1 + (-1) &= 1 2 cdot (-1) - 1 + 1 &= -2
    Resultado: 3 1 -2
Aplicando 0 0 1 na base de 2 cdot 0 - 0 &= 0 2 cdot 1 + 0 &= 2 2 cdot 0 - 0 + 1 &= 1 :
  1. 0 2 1:
    1 2 3
    Resultado: 2 cdot 1 - 2 &= 0 2 cdot 3 + 2 &= 8 2 cdot 2 - 1 + 3 &= 6
  2. 0 8 6:
    0 1 0
    Resultado: 2 cdot 0 - 1 &= -1 2 cdot 0 + 1 &= 1 2 cdot 1 - 0 + 0 &= 2
  3. -1 1 2:
    2 1 1
    Resultado: 2 cdot 2 - 1 &= 3 2 cdot 1 + 1 &= 3 2 cdot 1 - 2 + 1 &= 1
Aplicando 3 3 1 na base de :
  1. :
    Resultado:
  2. :
    Resultado:
  3. :
    Resultado:

Passo 4

Agora que aplicamos a transformação MA to B = 2 & -2 & 1 2 & 0 & 3 0 & 1 & 2 em todos os vetores das bases, podemos construir as matrizes das transformações lineares que mapeiam de uma base para outra.
Por exemplo, para a transformação que leva vetores da base MB to C = 0 & 3 & 0 0 & 1 & 8 2 & -2 & 6 para a base MC to A = 0 & -1 & 3 8 & 1 & 3 6 & 2 & 1 , a matriz será formada pelas coordenadas dos vetores transformados de expresso na base .
Matriz de de para :
Usamos os vetores transformados de :
Matriz de de para :
Usamos os vetores transformados de :
Matriz de de para :
Usamos os vetores transformados de :

Resposta

As matrizes das transformações lineares após aplicar MA to B = 2 & -2 & 1 2 & 0 & 3 0 & 1 & 2 , MB to C = 0 & 3 & 0 0 & 1 & 8 2 & -2 & 6 , MC to A = 0 & -1 & 3 8 & 1 & 3 6 & 2 & 1 são:
Essas matrizes representam as transformações que mapeiam vetores das bases para , para e para , respectivamente, após a aplicação da transformação linear .

Exercícios relacionados