Para um escoamento bidimensional no plano xy , a componente x da velocidade é dada por
. Determine uma possível componente y para escoamento permanente e incompressível. Quantas componentes y são possíveis? (Resp.
)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrar uma componente y da velocidade para um escoamento bidimensional no plano xy, onde a componente x é dada por $ v_x = Ax $. Além disso, esse escoamento precisa ser permanente e incompressível. Para resolver isso, vamos usar a equação de continuidade, que é fundamental para escoamentos incompressíveis.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa um escoamento ser incompressível. Isso quer dizer que a massa do fluido se mantém constante, ou seja, a densidade não muda com o tempo. Matematicamente, isso é expresso pela equação de continuidade para escoamentos bidimensionais:
Aqui, $ v_x $ e $ v_y $ são as componentes da velocidade nas direções x e y, respectivamente.
Passo 3
Sabemos que $ v_x = Ax $. Vamos calcular a derivada parcial de $ v_x $ em relação a x:
Agora, substituímos isso na equação de continuidade:
Passo 4
Para encontrar $ v_y $, rearranjamos a equação:
Integrando ambos os lados em relação a y, temos:
Onde C é uma constante de integração. Porém, como estamos lidando com um escoamento geral em todo o plano, a constante C geralmente é considerada zero para simplificar, a menos que haja informações adicionais.
Passo 5
Portanto, a componente y da velocidade é:
E como não há outras restrições no problema, essa é a única solução possível para $ v_y $.
Resposta
Exercícios relacionados
Considere um escoamento radial e unidimensional no plano
caracterizado por
e
. Determine as condições sobre
) necessárias para que o escoamento seja incompressível. (Resp.
).
Para um escoamento incompressível no plano
, a componente
da velocidade é dada por
Asen
. Determine uma possível componente
da velocidade. Quantas possíveis componentes
existem? Resp.:
Quais dos seguintes conjuntos de equações representam possíveis casos de escoamento bidimensional incompressível? (Resp. a, b, d)
(a)
(b)
© e
(d)
(a)
(b)
©
(d)
Pode o seguinte campo de velocidade ser incompressível? Demonstre.