Para um escoamento bidimensional no plano xy , a componente x da velocidade é dada por vx=Ax. Determine uma possível componente y para escoamento permanente e incompressível. Quantas componentes y são possíveis? (Resp. vy=-Ay )

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrar uma componente y da velocidade para um escoamento bidimensional no plano xy, onde a componente x é dada por $ v_x = Ax $. Além disso, esse escoamento precisa ser permanente e incompressível. Para resolver isso, vamos usar a equação de continuidade, que é fundamental para escoamentos incompressíveis.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa um escoamento ser incompressível. Isso quer dizer que a massa do fluido se mantém constante, ou seja, a densidade não muda com o tempo. Matematicamente, isso é expresso pela equação de continuidade para escoamentos bidimensionais:
partial vxpartial x + partial vypartial y = 0
Aqui, $ v_x $ e $ v_y $ são as componentes da velocidade nas direções x e y, respectivamente.

Passo 3

Sabemos que $ v_x = Ax $. Vamos calcular a derivada parcial de $ v_x $ em relação a x:
vx = Ax
Agora, substituímos isso na equação de continuidade:
vx

Passo 4

Para encontrar $ v_y $, rearranjamos a equação:
vy
Integrando ambos os lados em relação a y, temos:
partial vypartial y = -A
Onde C é uma constante de integração. Porém, como estamos lidando com um escoamento geral em todo o plano, a constante C geralmente é considerada zero para simplificar, a menos que haja informações adicionais.

Passo 5

Portanto, a componente y da velocidade é:
vy = -Ay
E como não há outras restrições no problema, essa é a única solução possível para $ v_y $.

Resposta

vy = -Ay

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Quais dos seguintes conjuntos de equações representam possíveis casos de escoamento bidimensional incompressível? (Resp. a, b, d)
(a) u=2 x y-x^2+y e v=2 x y-y^2+x^2
(b) u=x t+2 y e v=x t^2-y t
© u=2 x^2+y^2-x^2 y e v=x^2+x(y^2-2 y)
(d) u=(x+2 y) x t e v=-(2 x+y) y t
Pode o seguinte campo de velocidade ser incompressível? Demonstre.
& u=k x(x^2+y^2+z^2)^3 / 2 & v=k y(x^2+y^2+z^2)^3 / 2 & w=k z(x^2+y^2+z^2)^3 / 2