Pode ser mostrado que para tal sistema a força gravitacional exercida pela haste sobre um objeto localizado a uma distância
da origem é
. Usando esta relação, calcule a força exercida pela haste na bola a qualquer distância
do centro da haste.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos fala sobre a força gravitacional que uma haste exerce sobre uma bola que está a uma distância
do centro da haste. A gente vai usar a relação
para calcular essa força. Basicamente, estamos lidando com força gravitacional e energia potencial gravitacional.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender o que é energia potencial
. Energia potencial gravitacional é a energia que um objeto tem devido à sua posição em um campo gravitacional. A relação
nos diz que a força é igual à derivada negativa da energia potencial em relação à posição
.
Passo 3
Agora, vamos supor que a energia potencial
depende de
. Precisamos encontrar uma expressão para
em termos de
. Geralmente, para sistemas simples, podemos integrar a força para encontrar
.
Passo 4
Vamos integrar a força para encontrar
:
Mas como queremos a força em termos de
, precisamos inverter essa relação.
Passo 5
Sabemos que:
Então, para encontrar
, precisamos derivar
em relação a
.
Passo 6
Sem a expressão exata de
, mas sabendo que a força gravitacional geralmente segue uma relação proporcional a
(como a lei da gravitação de Newton), vamos assumir que:
onde
é uma constante que depende das características do sistema.
Passo 7
Agora, derivamos
em relação a
:
Passo 8
Aplicando a relação
:
Então, a força exercida pela haste na bola é inversamente proporcional ao quadrado da distância
.
Resposta
A força exercida pela haste na bola a qualquer distância
do centro da haste é: