Pode ser mostrado que para tal sistema a força gravitacional exercida pela haste sobre um objeto localizado a uma distância da origem é . Usando esta relação, calcule a força exercida pela haste na bola a qualquer distância do centro da haste.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos fala sobre a força gravitacional que uma haste exerce sobre uma bola que está a uma distância do centro da haste. A gente vai usar a relação para calcular essa força. Basicamente, estamos lidando com força gravitacional e energia potencial gravitacional.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender o que é energia potencial . Energia potencial gravitacional é a energia que um objeto tem devido à sua posição em um campo gravitacional. A relação nos diz que a força é igual à derivada negativa da energia potencial em relação à posição .

Passo 3

Agora, vamos supor que a energia potencial depende de . Precisamos encontrar uma expressão para em termos de . Geralmente, para sistemas simples, podemos integrar a força para encontrar .

Passo 4

Vamos integrar a força para encontrar :
Mas como queremos a força em termos de , precisamos inverter essa relação.

Passo 5

Sabemos que:
Então, para encontrar , precisamos derivar em relação a .

Passo 6

Sem a expressão exata de , mas sabendo que a força gravitacional geralmente segue uma relação proporcional a (como a lei da gravitação de Newton), vamos assumir que:
onde é uma constante que depende das características do sistema.

Passo 7

Agora, derivamos em relação a :

Passo 8

Aplicando a relação :
Então, a força exercida pela haste na bola é inversamente proporcional ao quadrado da distância .

Resposta

A força exercida pela haste na bola a qualquer distância do centro da haste é:

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