L: Suponha que um buraco seja feito no centro da Terra. Eu deixo cair uma pequena massa neste buraco e depois de algum tempo vejo-a emergindo no lado oposto da Terra. A massa então cai de volta novamente e continua a oscilar. Encontre o período dessa oscilação. Indique claramente todas as suposições feitas. Se o diâmetro do furo for uma fração significativa do tamanho da Terra isso afetaria sua resposta? Se sim, como?
Passo 1
Ok, vamos lá! A gente tem um exercício que fala sobre uma massa que é deixada cair em um buraco que passa pelo centro da Terra. Depois, essa massa sobe até sair do outro lado e volta, continuando a oscilar. Nosso objetivo é encontrar o período dessa oscilação. Para resolver isso, vamos usar conceitos de força gravitacional e movimento harmônico simples. Precisaremos entender como a gravidade atua dentro da Terra e como isso gera um movimento periódico para a massa.
Passo 2
Primeiro, vamos pensar na força que a Terra exerce sobre a massa enquanto ela está caindo no buraco. A força gravitacional dentro da Terra diminui linearmente com a distância ao centro, ou seja, quanto mais perto do centro, menor é a força gravitacional. Isso acontece porque, segundo a Lei da Gravitação Universal de Newton, apenas a massa que está dentro de uma esfera de raio igual à distância da massa ao centro da Terra contribui para a força gravitacional.
Matematicamente, podemos expressar a força gravitacional
como:
onde:
-
é a constante gravitacional, -
é a massa da Terra dentro do raio , -
é a massa que está sendo deixada cair, -
é a distância do centro da Terra.
Passo 3
Como
é proporcional a
(porque a massa dentro de um raio
depende do volume, que é
), podemos simplificar a força gravitacional para ser proporcional a
:
onde
é uma constante positiva que depende da densidade da Terra. Essa forma de força é a mesma que encontramos em um movimento harmônico simples, onde a força é proporcional e oposta ao deslocamento.
Passo 4
No movimento harmônico simples, a equação de movimento é:
Comparando com a equação padrão:
vemos que:
O período
do movimento é relacionado a
por:
Passo 5
Agora, precisamos descobrir o valor de
. Sabemos que na superfície da Terra (
), a força gravitacional é
, onde
é a aceleração da gravidade (
). Então:
Isolando
:
Passo 6
Substituindo
na expressão do período
:
Note que a massa
se cancela, o que mostra que o período não depende da massa que está oscilando.
Passo 7
Agora, vamos calcular numericamente. Sabemos que o raio
da Terra é aproximadamente
e
. Substituindo na fórmula:
Convertendo segundos para minutos:
Passo 8
Fizemos algumas suposições importantes:
- A Terra é uma esfera homogênea: Assumimos que a densidade da Terra é constante, o que simplifica os cálculos.
- Ausência de resistência do ar: Ignoramos o atrito e a resistência do ar dentro do buraco.
- Buraco sem atrito: Consideramos que não há perdas de energia durante a oscilação.
Se o diâmetro do furo fosse uma fração significativa do tamanho da Terra, isso impactaria principalmente a segunda suposição. A presença de ar dentro do buraco introduziria resistência, fazendo com que a massa perdesse energia a cada oscilação e, eventualmente, parasse. Além disso, se o furo fosse muito largo, poderíamos precisar considerar variações na densidade da Terra ou na distribuição de massa, o que tornaria o cálculo mais complexo e alteraria o período obtido.
Resposta
O período da oscilação da massa no buraco que passa pelo centro da Terra é de aproximadamente 84 minutos.
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para
, de
para
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para
,
, com
.