L: Suponha que um buraco seja feito no centro da Terra. Eu deixo cair uma pequena massa neste buraco e depois de algum tempo vejo-a emergindo no lado oposto da Terra. A massa então cai de volta novamente e continua a oscilar. Encontre o período dessa oscilação. Indique claramente todas as suposições feitas. Se o diâmetro do furo for uma fração significativa do tamanho da Terra isso afetaria sua resposta? Se sim, como?

Passo 1

Ok, vamos lá! A gente tem um exercício que fala sobre uma massa que é deixada cair em um buraco que passa pelo centro da Terra. Depois, essa massa sobe até sair do outro lado e volta, continuando a oscilar. Nosso objetivo é encontrar o período dessa oscilação. Para resolver isso, vamos usar conceitos de força gravitacional e movimento harmônico simples. Precisaremos entender como a gravidade atua dentro da Terra e como isso gera um movimento periódico para a massa.

Passo 2

Primeiro, vamos pensar na força que a Terra exerce sobre a massa enquanto ela está caindo no buraco. A força gravitacional dentro da Terra diminui linearmente com a distância ao centro, ou seja, quanto mais perto do centro, menor é a força gravitacional. Isso acontece porque, segundo a Lei da Gravitação Universal de Newton, apenas a massa que está dentro de uma esfera de raio igual à distância da massa ao centro da Terra contribui para a força gravitacional.
Matematicamente, podemos expressar a força gravitacional F = -G M(r) mr^2 como:
onde:
  • é a constante gravitacional,
  • é a massa da Terra dentro do raio ,
  • é a massa que está sendo deixada cair,
  • é a distância do centro da Terra.

Passo 3

Como F = -k r é proporcional a (porque a massa dentro de um raio depende do volume, que é ), podemos simplificar a força gravitacional para ser proporcional a :
onde é uma constante positiva que depende da densidade da Terra. Essa forma de força é a mesma que encontramos em um movimento harmônico simples, onde a força é proporcional e oposta ao deslocamento.

Passo 4

No movimento harmônico simples, a equação de movimento é:
m d^2 rdt^2 = -k r
Comparando com a equação padrão:
d^2 rdt^2 + omega^2 r = 0
vemos que:
omega = raizkm
O período T = 2piomega = 2pi raizmk do movimento é relacionado a por:

Passo 5

Agora, precisamos descobrir o valor de m g = k R . Sabemos que na superfície da Terra ( k = m gR ), a força gravitacional é , onde é a aceleração da gravidade ( ). Então:
Isolando :

Passo 6

Substituindo T = 2pi raizmm gR = 2pi raizRg na expressão do período :
Note que a massa se cancela, o que mostra que o período não depende da massa que está oscilando.

Passo 7

Agora, vamos calcular numericamente. Sabemos que o raio T = 2pi raiz6.371 times 10^69,81 approx 2pi raiz6.498 times 10^5 approx 2pi times 805 approx 5060 , s da Terra é aproximadamente 5060 , s div 60 approx 84,3 , minutos e . Substituindo na fórmula:
Convertendo segundos para minutos:

Passo 8

Fizemos algumas suposições importantes:
  1. A Terra é uma esfera homogênea: Assumimos que a densidade da Terra é constante, o que simplifica os cálculos.
  2. Ausência de resistência do ar: Ignoramos o atrito e a resistência do ar dentro do buraco.
  3. Buraco sem atrito: Consideramos que não há perdas de energia durante a oscilação.
Se o diâmetro do furo fosse uma fração significativa do tamanho da Terra, isso impactaria principalmente a segunda suposição. A presença de ar dentro do buraco introduziria resistência, fazendo com que a massa perdesse energia a cada oscilação e, eventualmente, parasse. Além disso, se o furo fosse muito largo, poderíamos precisar considerar variações na densidade da Terra ou na distribuição de massa, o que tornaria o cálculo mais complexo e alteraria o período obtido.

Resposta

O período da oscilação da massa no buraco que passa pelo centro da Terra é de aproximadamente 84 minutos.

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