O polinômio característico de uma matriz é essencial para a descoberta de seus autovalores e, por consequência, de seus autovetores. Se uma matriz tem como polinômio característico p (λ) = (3 + λ) (1 - λ) (4 + λ), indique a dimensão dessa matriz.
a)3
b)4
c)2
d) 1
e)6

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. A gente tem um polinômio característico de uma matriz, que é p(λ) = (3 + λ)(1 - λ)(4 + λ). A pergunta é: qual é a dimensão dessa matriz? A matéria que vamos usar aqui é Álgebra Linear, especificamente o conceito de polinômio característico e como ele se relaciona com a dimensão da matriz.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o polinômio característico. Ele é definido como p(λ) = det(A - λI), onde A é a matriz em questão, λ é um escalar, e I é a matriz identidade do mesmo tamanho que A. O grau desse polinômio (ou seja, a maior potência de λ) nos diz a dimensão da matriz A.

Passo 3

Agora, vamos analisar o polinômio dado: p(λ) = (3 + λ)(1 - λ)(4 + λ). Se expandirmos esse polinômio, ele será de terceiro grau, porque temos três fatores multiplicando cada um com λ na primeira potência.

Passo 4

Como o grau do polinômio característico é igual à dimensão da matriz, e o nosso polinômio é de terceiro grau, isso significa que a matriz é 3x3.

Resposta

A dimensão da matriz é 3. Portanto, a alternativa correta é a) 3.

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