- Em um paralelogramo ABCD, os lados AB e AD medem, respectivamente, x √2 cm e x cm, e 8 é o ângulo agudo formado por esses lados. Se a diagonal maior mede 2x cm, então o ângulo 8 é tal que √14 4 √√2 B) sen 8 = - 4 √3 2 A) cos 8 = C) cos 8 = 1 D) sen 8 = 2 E) tg 8 =
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre um paralelogramo $ ABCD $ com lados $ AB $ e $ AD $ medindo $ x\sqrt{2} $ cm e $ x $ cm, respectivamente. O ângulo agudo entre esses lados é o $ \theta $. A diagonal maior do paralelogramo mede $ 2x $ cm. Nosso objetivo é descobrir uma relação trigonométrica envolvendo o ângulo $ \theta $, como $ \cos \theta $ ou $ \sin \theta $. Para resolver isso, vamos usar conceitos de geometria de paralelogramos e trigonometria, especialmente a Lei dos Cossenos.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que em um paralelogramo, as diagonais se dividem mutuamente ao meio e não necessariamente são iguais. Porém, sabemos que a diagonal maior mede $ 2x $ cm.
Vamos identificar qual diagonal é a maior. Sabemos que as diagonais em um paralelogramo satisfazem a relação:
Mas, nesse caso, como temos valores específicos, podemos usar a Lei dos Cossenos diretamente para relacionar os lados e a diagonal.
Passo 3
Vamos aplicar a Lei dos Cossenos no triângulo formado pelos lados $ AB $, $ AD $ e a diagonal $ BD $ (que é a diagonal maior de $ 2x $ cm).
A Lei dos Cossenos diz que:
Substituindo os valores que temos:
Passo 4
Vamos resolver a equação passo a passo. Primeiro, simplificamos cada termo:
Simplificando os termos:
Passo 5
Agora, isolamos o termo que envolve $ \cos(\theta) $:
Isso resulta em:
Passo 6
Dividimos ambos os lados por $ -2x^2\sqrt{2} $ para resolver para $ \cos(\theta) $:
Para racionalizar o denominador, multiplicamos o numerador e o denominador por $ \sqrt{2} $:
Resposta
A resposta correta é: