Um polinômio P (x) = x³ + ax² + bx + c satisfaz as condições P (1) = 0 e P(-x) + P(x) = 0 para qualquer x real. Então, o valor de P(2) é:
a. n. d. a.
b. 0
c. 2
d. 4 e. 6
a. n. d. a.
b. 0
c. 2
d. 4 e. 6
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos um polinômio $ P(x) = x^3 + ax^2 + bx + c $ que atende a duas condições: $ P(1) = 0 $ e $ P(-x) + P(x) = 0 $ para qualquer número real $ x $. Nosso objetivo é descobrir o valor de $ P(2) $. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre polinômios e como resolver equações com eles.
Passo 2
Primeiro, vamos usar a condição $ P(1) = 0 $. Isso significa que, quando substituímos $ x $ por 1 no polinômio, o resultado é zero. Vamos fazer isso:
Então, temos a primeira equação:
Passo 3
Agora, vamos usar a segunda condição: $ P(-x) + P(x) = 0 $ para qualquer $ x $. Isso quer dizer que, se substituirmos $ x $ por $ -x $ no polinômio e somarmos com $ P(x) $, o resultado sempre será zero. Vamos calcular $ P(-x) $:
Agora, somamos $ P(-x) $ e $ P(x) $:
De acordo com a condição, isso deve ser igual a zero para qualquer $ x $:
Passo 4
Para que a equação $ 2a x^2 + 2c = 0 $ seja verdadeira para qualquer $ x $, os coeficientes de $ x^2 $ e o termo constante devem ser iguais a zero. Ou seja:
Agora sabemos que $ a = 0 $ e $ c = 0 $.
Passo 5
Vamos voltar à Equação 1 que encontramos no Passo 2:
Substituindo $ a = 0 $ e $ c = 0 $:
Agora temos todos os coeficientes: $ a = 0 $, $ b = -1 $, e $ c = 0 $.
Passo 6
Com esses valores, nosso polinômio fica:
Agora, vamos calcular $ P(2) $:
Resposta
A resposta correta é a opção e. 6.