Uma agência de viagens vende pacote turísticos coletivos com destino a Belford roxo. Um pacote para 40 clientes custa R$ 2000,00 por pessoa e, em caso de desistência, cada pessoa que permanecer no grupo deve pagar mais R$ 100,00 por cada desistente do pacote de viagem. Dessa forma, para que essa agência obtenha lucro máximo na venda desse pacote de viagens, o número de pessoas que devem realizar a viagem é igual a:?
Passo 1
Beleza, vamos entender o problema juntos! Temos uma agência de viagens que vende pacotes para 40 pessoas, custando R$ 2000,00 por pessoa. Se alguém desistir, cada pessoa que fica tem que pagar R$ 100,00 a mais para cada desistente. Queremos descobrir quantas pessoas devem realmente viajar para que a agência tenha o lucro máximo. Para resolver isso, vamos usar um pouco de álgebra e entender como maximizar uma função de lucro.
Passo 2
Primeiro, vamos definir uma variável para facilitar. Vamos chamar de x o número de pessoas que realmente vão na viagem. Como o pacote é para 40 pessoas, o número que desiste é 40 - x.
Passo 3
Agora, vamos calcular quanto cada pessoa que fica tem que pagar a mais devido às desistências. Cada desistente faz com que cada pessoa que fica pague R$ 100,00 a mais. Então, o total extra que cada pessoa paga é 100 vezes (40 - x).
Então, o custo total para cada pessoa que fica é:
Passo 4
Para encontrar o lucro total da agência, precisamos multiplicar o custo de cada pessoa pelo número de pessoas que vão na viagem. Então, nossa função de lucro R(x) fica assim:
Vamos simplificar essa expressão:
Passo 5
Agora, temos uma função quadrática:
Sabemos que uma função quadrática do tipo $ ax^2 + bx + c $ tem um gráfico de parábola. Se o coeficiente de $ x^2 $ (no caso, -100) é negativo, a parábola abre para baixo e o ponto mais alto é o ponto de máximo lucro.
Passo 6
Para encontrar o valor de x que maximiza o lucro, usamos a fórmula do vértice da parábola:
Aqui, a = -100 e b = 6000, então:
Resposta
Para que a agência obtenha o lucro máximo, 30 pessoas devem realizar a viagem.