Para que o polinômio do segundo grau A(x) = 3x² - bx + c, com c > 0 seja o quadrado do polinômio B(x) = mx + n, é necessário que
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos um polinômio de segundo grau $ A(x) = 3x² - bx + c $, com $ c > 0 $. A gente quer descobrir quais condições são necessárias para que esse polinômio seja o quadrado de outro polinômio de primeiro grau $ B(x) = mx + n $. Para resolver isso, vamos precisar entender como funciona o quadrado de um polinômio e igualar os coeficientes.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular o quadrado do polinômio $ B(x) = mx + n $. Quando a gente eleva um binômio ao quadrado, usamos a fórmula $ (mx + n)^2 = m²x² + 2mnx + n² $. Isso significa que o quadrado de $ B(x) $ resulta em um polinômio de segundo grau com coeficientes $ m² $ para $ x² $, $ 2mn $ para $ x $ e $ n² $ para o termo constante.
Passo 3
Agora, vamos igualar o polinômio $ A(x) = 3x² - bx + c $ ao quadrado de $ B(x) $ que acabamos de encontrar. Ou seja:
Para que essa igualdade seja verdadeira para todos os valores de $ x $, os coeficientes dos termos correspondentes devem ser iguais. Então, vamos igualar os coeficientes de cada termo.
Passo 4
Igualando os coeficientes de $ x² $:
Isso nos diz que $ m = \sqrt{3} $ ou $ m = -\sqrt{3} $.
Passo 5
Agora, igualando os coeficientes de $ x $:
Aqui, podemos substituir o valor de $ m $ encontrado anteriormente para encontrar uma relação entre $ b $ e $ n $.
Passo 6
Igualando os termos constantes:
Como $ c > 0 $, sabemos que $ n $ é um número real e positivo ou negativo, já que o quadrado de qualquer número real positivo ou negativo é positivo.
Passo 7
Vamos agora relacionar todas essas equações para encontrar a condição necessária. Primeiro, da equação $ m² = 3 $, temos $ m = \sqrt{3} $ ou $ m = -\sqrt{3} $. Substituindo $ m $ na segunda equação:
E da terceira equação, sabemos que $ n² = c $. Substituindo $ n = \sqrt{c} $ (considerando $ n $ positivo, já que $ c > 0 $), temos:
Elevando ambos os lados ao quadrado para eliminar a raiz:
Como $ m² = 3 $:
Resposta
Para que o polinômio $ A(x) = 3x² - bx + c $ seja o quadrado de $ B(x) = mx + n $, é necessário que $ b² = 12c $.