Seja um recipiente que contém, inicialmente, 2000 l de água e 100 kg de sal. É inserida no recipiente uma solução (água salgada) com uma concentração de 5 kg de sal por litro de água, a uma taxa fixa de 25 L/min. Esta solução é misturada completamente e tem uma saída do tanque com uma taxa de 25 L/min. Determine a quantidade de sal que permanece no recipiente após 4800s do início do processo.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um recipiente com 2000 litros de água e 100 kg de sal inicialmente. A gente está adicionando uma solução de água salgada com concentração de 5 kg de sal por litro, na taxa de 25 litros por minuto. Essa solução se mistura completamente e, ao mesmo tempo, tem uma saída do tanque também na taxa de 25 litros por minuto. Nosso objetivo é descobrir quanto sal sobra no recipiente depois de 4800 segundos. Vou te mostrar passo a passo como resolver isso usando conceitos de mistura e equações diferenciais.

Passo 2

Vamos começar definindo uma variável para nos ajudar. Seja $ S(t) $ a quantidade de sal no recipiente em função do tempo $ t $ em minutos. Nosso objetivo é encontrar $ S(t) $ após 4800 segundos, que equivale a 80 minutos.

Passo 3

Primeiro, vamos calcular a taxa de entrada de sal na mistura. Sabemos que a solução que entra tem 5 kg de sal por litro e a taxa de entrada é de 25 litros por minuto. Então, a taxa de entrada de sal é:
Taxa de entrada = 5 , kgL times 25 , Lmin = 125 , kgmin

Passo 4

Agora, vamos calcular a taxa de saída de sal. A concentração de sal que sai depende da quantidade de sal que está no recipiente no momento. A concentração no tanque é $ \frac{S(t)}{2000} $ kg/L, já que o volume total de água se mantém constante em 2000 litros. A taxa de saída de sal é então:
S(t)2000 í

Passo 5

Com as taxas de entrada e saída, podemos montar a equação diferencial que descreve a variação do sal no tanque ao longo do tempo:
dSdt = Taxa de entrada - Taxa de saída = 125 - S(t)80 í

Passo 6

Vamos resolver essa equação diferencial. Primeiro, rearranjamos para:
dSdt + S(t)80 = 125
Esta é uma equação diferencial linear que podemos resolver usando um fator integrante. O fator integrante é $ e^{\int \frac{1}{80} dt} = e^{\frac{t}{80}} $.
Multiplicando a equação por esse fator:
e^integral 180 dt = e^t80
O lado esquerdo agora é a derivada do produto $ S(t) e^{\frac{t}{80}} $:
e^t80 dSdt + e^t80 S(t)80 = 125 e^t80
Integrando ambos os lados:
S(t) e^t80
A integral de $ e^{\frac{t}{80}} $ é $ 80 e^{\frac{t}{80}} $, então:
ddt ( S(t) e^t80 ) = 125 e^t80
S(t) e^t80 = 125 integral e^t80 dt + C
Dividindo por $ e^{\frac{t}{80}} $:
e^t80

Passo 7

Para encontrar a constante $ C $, usamos a condição inicial. No tempo $ t = 0 $, temos $ S(0) = 100 $ kg. Substituindo:
C
t = 0
S(0) = 100
Então, a solução da equação é:
100 = 10000 + C e^0

Passo 8

Agora, substituímos $ t = 80 $ minutos (já que 4800 segundos são 80 minutos):
t = 80
Sabendo que $ e^{-1} \approx 0,3679 $:
S(80) = 10000 - 9900 e^-8080 = 10000 - 9900 e^-1

Resposta

Após 4800 segundos, permaneceram aproximadamente 6368,79 kg de sal no recipiente.

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