Uma ponte com massa equivalente m - 3000 kg/m e rigidez k - 100000 N/m é sujeita a uma força periódica F(t) = 50 cos(3 t) N. Use a Transformada de Laplace para determinar a resposta x(t) e analise a possibilidade de ressonância.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que o problema está pedindo. Temos uma ponte que pode ser modelada como um sistema massa-mola, onde:
  • Massa equivalente (m): 3000 kg/m
  • Rigidez (k): 100.000 N/m
  • Força aplicada (F(t)): N
Nosso objetivo é usar a Transformada de Laplace para encontrar a resposta desse sistema e verificar se ocorre ressonância. Para isso, vamos precisar entender as equações de movimento de um sistema massa-mola e como aplicar a Transformada de Laplace nessas equações.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a equação diferencial que descreve o movimento de um sistema massa-mola submetido a uma força externa:
Aqui, é o deslocamento da massa em função do tempo.

Passo 3

Vamos aplicar a Transformada de Laplace em ambos os lados da equação. Lembrando que:
Assumindo que as condições iniciais são zero (ou seja, e ), a equação fica:

Passo 4

Sabemos que:
A transformada de Laplace de é:
Portanto:

Passo 5

Substituindo na equação transformada:
Fatorando :
Isolando :

Passo 6

Agora, vamos substituir os valores de e :
Então:

Passo 7

Vamos simplificar a expressão:
Portanto:
Simplificando:

Passo 8

Para encontrar , precisamos realizar a Transformada Inversa de Laplace. Isso geralmente envolve decompor a fração em elementos mais simples usando frações parciais.
No entanto, devido à complexidade da expressão, podemos identificar que a solução consistirá de duas partes:
  1. Resposta Transitória: que decai com o tempo.
  2. Resposta Forçada: que oscila na mesma frequência da força aplicada.

Passo 9

Vamos identificar a frequência natural do sistema, que é dada por:
A força aplicada tem frequência .

Passo 10

Ressonância ocorre quando a frequência da força aplicada é igual à frequência natural .
Neste caso:
Portanto, não há ressonância.

Resposta

A resposta do sistema é uma combinação de uma parte transitória que decai com o tempo e uma parte forçada que oscila na frequência . Além disso, como a frequência da força aplicada é diferente da frequência natural do sistema , não ocorre ressonância.

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