Uma ponte com massa equivalente
e rigidez
é sujeita a uma força periódica
. Use a Transformada de Laplace para determinar a resposta
e analise a possibilidade de ressonância.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que o problema está pedindo. Temos uma ponte que pode ser modelada como um sistema massa-mola, onde:
- Massa equivalente (m): 3000 kg/m
- Rigidez (k): 100.000 N/m
- Força aplicada (F(t)):
N
Nosso objetivo é usar a Transformada de Laplace para encontrar a resposta
desse sistema e verificar se ocorre ressonância. Para isso, vamos precisar entender as equações de movimento de um sistema massa-mola e como aplicar a Transformada de Laplace nessas equações.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar a equação diferencial que descreve o movimento de um sistema massa-mola submetido a uma força externa:
Aqui,
é o deslocamento da massa em função do tempo.
Passo 3
Vamos aplicar a Transformada de Laplace em ambos os lados da equação. Lembrando que:
Assumindo que as condições iniciais são zero (ou seja,
e
), a equação fica:
Passo 4
Sabemos que:
A transformada de Laplace de
é:
Portanto:
Passo 5
Substituindo na equação transformada:
Fatorando
:
Isolando
:
Passo 6
Agora, vamos substituir os valores de
e
:
Então:
Passo 7
Vamos simplificar a expressão:
Portanto:
Simplificando:
Passo 8
Para encontrar
, precisamos realizar a Transformada Inversa de Laplace. Isso geralmente envolve decompor a fração em elementos mais simples usando frações parciais.
No entanto, devido à complexidade da expressão, podemos identificar que a solução consistirá de duas partes:
- Resposta Transitória: que decai com o tempo.
- Resposta Forçada: que oscila na mesma frequência da força aplicada.
Passo 9
Vamos identificar a frequência natural do sistema, que é dada por:
A força aplicada tem frequência
.
Passo 10
Ressonância ocorre quando a frequência da força aplicada
é igual à frequência natural
.
Neste caso:
Portanto, não há ressonância.
Resposta
A resposta do sistema é uma combinação de uma parte transitória que decai com o tempo e uma parte forçada que oscila na frequência
. Além disso, como a frequência da força aplicada
é diferente da frequência natural do sistema
, não ocorre ressonância.