Suponha que um estudante infectado com um virus retorna a uma faculdade onde se encontram 1500 estudantes. Considerando que a taxa na qual o vírus se espalha é proporcional não somente à quantidade de alunos infectados, mas também à quantidade de alunos não infectados, determine o número de alunos infectados após 8 dias se no quinto dia tem-se que x(5) = 45.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos 1500 estudantes na faculdade e um vírus que está se espalhando. A taxa de espalhamento do vírus depende tanto do número de estudantes já infectados quanto dos que ainda não estão infectados. Precisamos descobrir quantos estudantes estarão infectados após 8 dias, sabendo que no quinto dia já havia 45 infectados. Para resolver isso, vamos usar conceitos de equações diferenciais, especificamente um modelo de crescimento proporcional ao produto de infectados e não infectados.

Passo 2

Primeiro, vamos definir algumas variáveis:
  • : número total de estudantes.
  • : número de estudantes infectados no dia .
A taxa de variação dos infectados em relação ao tempo é proporcional ao produto de infectados e não infectados:
onde é a constante de proporcionalidade que precisamos encontrar.

Passo 3

Para resolver essa equação diferencial, vamos separar as variáveis e integrar:
Essa integral resulta em:
onde é a constante de integração.

Passo 4

Vamos resolver para :
onde . Exponenciando ambos os lados:
onde .
Resolvendo para :

Passo 5

Precisamos determinar as constantes e usando a condição inicial fornecida: .
Substituindo e :
Isso simplifica para:

Passo 6

Agora, precisamos de mais uma condição para resolver as constantes, mas como não temos outra condição inicial (por exemplo, número de infectados no dia 0), vamos assumir que inicialmente havia 1 estudante infectado (o que faz sentido com base no enunciado).
Assim, para e :

Passo 7

Agora, substituímos na equação anterior:
Tomando o logaritmo natural dos dois lados:

Passo 8

Agora que temos e , podemos expressar :
Simplificando:

Passo 9

Finalmente, vamos calcular :
Calculando :
Substituindo:

Resposta

Após 8 dias, aproximadamente 354 estudantes estarão infectados.

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