Suponha que um estudante infectado com um virus retorna a uma faculdade onde se encontram 1500 estudantes. Considerando que a taxa na qual o vírus se espalha é proporcional não somente à quantidade de alunos infectados, mas também à quantidade de alunos não infectados, determine o número de alunos infectados após 8 dias se no quinto dia tem-se que
.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos 1500 estudantes na faculdade e um vírus que está se espalhando. A taxa de espalhamento do vírus depende tanto do número de estudantes já infectados quanto dos que ainda não estão infectados. Precisamos descobrir quantos estudantes estarão infectados após 8 dias, sabendo que no quinto dia já havia 45 infectados. Para resolver isso, vamos usar conceitos de equações diferenciais, especificamente um modelo de crescimento proporcional ao produto de infectados e não infectados.
Passo 2
Primeiro, vamos definir algumas variáveis:
-
: número total de estudantes. -
: número de estudantes infectados no dia .
A taxa de variação dos infectados em relação ao tempo é proporcional ao produto de infectados e não infectados:
onde
é a constante de proporcionalidade que precisamos encontrar.
Passo 3
Para resolver essa equação diferencial, vamos separar as variáveis e integrar:
Essa integral resulta em:
onde
é a constante de integração.
Passo 4
Vamos resolver para
:
onde
. Exponenciando ambos os lados:
onde
.
Resolvendo para
:
Passo 5
Precisamos determinar as constantes
e
usando a condição inicial fornecida:
.
Substituindo
e
:
Isso simplifica para:
Passo 6
Agora, precisamos de mais uma condição para resolver as constantes, mas como não temos outra condição inicial (por exemplo, número de infectados no dia 0), vamos assumir que inicialmente havia 1 estudante infectado (o que faz sentido com base no enunciado).
Assim, para
e
:
Passo 7
Agora, substituímos
na equação anterior:
Tomando o logaritmo natural dos dois lados:
Passo 8
Agora que temos
e
, podemos expressar
:
Simplificando:
Passo 9
Finalmente, vamos calcular
:
Calculando
:
Substituindo:
Resposta
Após 8 dias, aproximadamente 354 estudantes estarão infectados.
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.
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