Determine a ordem das equações e diga se são lineares ou não lineares.
.
Passo 1
Então, vamos lá! O exercício pede para a gente determinar a ordem de uma equação diferencial e dizer se ela é linear ou não linear. A equação que temos é:
Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre equações diferenciais: basicamente, elas relacionam uma função desconhecida (neste caso,
) com suas derivadas. A gente vai precisar identificar qual é a derivada mais alta presente na equação (para a ordem) e verificar se a equação segue as regras de linearidade.
Passo 2
Determinar a ordem da equação:
A ordem de uma equação diferencial é dada pela derivada de maior ordem que aparece na equação. Vamos olhar para a nossa equação:
Aqui, a derivada mais alta é
, que é a segunda derivada de
em relação a
. Portanto, a ordem da equação é 2.
Passo 3
Verificar se a equação é linear ou não linear:
Uma equação diferencial é linear se ela pode ser escrita de forma que a função desconhecida e suas derivadas aparecem somente na potência 1 e não estão multiplicadas entre si ou compostas por funções não lineares.
Vamos analisar cada termo da nossa equação:
-
- Esse termo é linear, pois a derivada aparece na potência 1. -
- Esse termo é não linear porque envolve uma função trigonométrica ( ) aplicada a . Se fosse apenas ou uma derivada linear de , seria linear, mas a composição com a função torna a equação não linear. -
- Esse é um termo não homogêneo, mas não afeta a linearidade da equação em relação a .
Como temos pelo menos um termo não linear (
), podemos concluir que a equação é não linear.
Resposta
A equação dada é de segunda ordem e é não linear.
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