As partículas 1 e 2, ambas com uma carga positiva q, são mantidas fixas sobre o eixo x, uma em x=0 e a outra em x=d. A partícula 3, de carga positiva Q, é colocada sobre o mesmo eixo em um ponto dado por x=alpha d. (a) Escreva expressões, em termos de alpha, para a força eletrostática total F que age sobre a partícula 3 quando a partícula está nas regiões x<0,0 e d. O resultado deve ser positivo quando a força F aponta no sentido positivo do eixo x e negativo quando F aponta no sentido negativo do eixo x. (b) Faça um gráfico de |F| em função de alpha para -2.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o problema. Temos duas partículas com carga positiva fixas no eixo , uma em e a outra em . Colocamos uma terceira partícula com carga positiva em um ponto no mesmo eixo. Queremos descobrir qual é a força eletrostática total que age sobre a partícula 3 em três regiões diferentes: quando , e . Para isso, vamos usar a Lei de Coulomb, que nos ajuda a calcular a força entre cargas elétricas.

Passo 2

Vamos relembrar a Lei de Coulomb, que diz que a força eletrostática entre duas cargas F = k cdot Q1 Q2r^2 e separadas por uma distância é dada por:
onde é a constante eletrostática ( ²²). Como ambas as cargas são positivas, a força será de repulsão, ou seja, elas se afastam uma da outra.

Passo 3

Agora, vamos analisar cada região separadamente.

Região 1: (ou )

A partícula está à esquerda de ambas as partículas . Então:
  • A força exercida pela partícula em sobre vai para a esquerda (sentido negativo do eixo ).
  • A força exercida pela partícula em também vai para a esquerda.
Vamos calcular essas forças em termos de .

Passo 4

Região 2: (ou )

Aqui, a partícula está entre as duas partículas .
  • A força da partícula em sobre vai para a direita (sentido positivo do eixo ).
  • A força da partícula em vai para a esquerda.
Vamos calcular essas forças considerando as distâncias.

Passo 5

Região 3: (ou )

Agora, a partícula está à direita de ambas as partículas .
  • A força da partícula em sobre vai para a direita.
  • A força da partícula em também vai para a direita.
Vamos calcular essas forças em termos de .

Passo 6

Finalmente, vamos expressar todas as forças em termos de usando a Lei de Coulomb.
  • A distância entre e a partícula em é .
  • A distância entre e a partícula em é .
Substituindo na Lei de Coulomb, temos para cada região:

Resposta

(a) As expressões para a força eletrostática total F = -k cdot Q q(alpha d)^2 - k cdot Q q(1 - alpha)^2 d^2 que age sobre a partícula 3 são:
  • Para F = k cdot Q q(alpha d)^2 - k cdot Q q(1 - alpha)^2 d^2 (ou seja, F = k cdot Q q(alpha d)^2 + k cdot Q q(alpha - 1)^2 d^2 ):
(O sinal negativo indica que a força está direcionada para o lado negativo do eixo .)
  • Para (ou seja, ):
(A primeira força aponta para o lado positivo e a segunda para o lado negativo do eixo .)
  • Para (ou seja, ):
(As duas forças apontam para o lado positivo do eixo .)
(b) Para fazer o gráfico de em função de no intervalo , você pode plotar as funções obtidas acima para cada região. O gráfico mostrará como a magnitude da força varia conforme a posição da partícula ao longo do eixo :
  • Para : A força aumenta conforme se afasta de 0, pois as distâncias diminuem.
  • Para : A força resultante depende da diferença entre as duas contribuições, podendo atingir um mínimo ou cruzar o eixo.
  • Para : A força novamente aumenta à medida que se afasta de 1, já que as distâncias diminuem.
Você pode usar ferramentas como o Excel, MATLAB ou qualquer software de plotagem para visualizar este gráfico com base nas expressões encontradas.

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