(1 Ponto) Se A e B não comutam, é impossível para uma autofunção de A ser também uma autofunção de B

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado está dizendo que se dois operadores, chamados A e B, não comutam (ou seja, AB neq BA), então não é possível que uma autofunção de A seja também uma autofunção de B. Aqui, estamos lidando com conceitos de álgebra linear e mecânica quântica, como comutadores e autofunções. Para resolver, vamos entender o que significa comutação e como isso afeta as autofunções.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que uma autofunção (ou vetor próprio) de um operador A é uma função psi tal que Apsi = apsi, onde a é um número escalar chamado de autovalor. Ou seja, aplicar o operador na função só multiplica ela por um número.

Passo 3

Agora, se psi é uma autofunção de ambos os operadores A e B, teríamos:
Apsi = apsi e Bpsi = bpsi
onde a e b são os respectivos autovalores.

Passo 4

Vamos calcular o produto ABpsi de duas maneiras diferentes:
  1. Aplicando B primeiro:
ABpsi = A(bpsi) = bApsi = b(apsi) = abpsi
  1. Aplicando A primeiro:
BApsi = B(apsi) = aBpsi = a(bpsi) = abpsi
Então, ABpsi = BApsi, o que implica que AB = BA quando agem sobre psi.

Passo 5

No entanto, o enunciado nos diz que A e B não comutam, ou seja, AB neq BA. Isso cria uma contradição, porque assumimos que existe uma função psi que é autofunção de ambos os operadores, o que levou à igualdade dos produtos. Portanto, nossa suposição inicial deve estar errada.

Resposta

Assim, concluímos que não é possível para uma autofunção de A ser também uma autofunção de B quando A e B não comutam.

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