(1 Ponto) Se
e
não comutam, é impossível para uma autofunção de
ser também uma autofunção de
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado está dizendo que se dois operadores, chamados
e
, não comutam (ou seja,
), então não é possível que uma autofunção de
seja também uma autofunção de
. Aqui, estamos lidando com conceitos de álgebra linear e mecânica quântica, como comutadores e autofunções. Para resolver, vamos entender o que significa comutação e como isso afeta as autofunções.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que uma autofunção (ou vetor próprio) de um operador
é uma função
tal que
, onde
é um número escalar chamado de autovalor. Ou seja, aplicar o operador na função só multiplica ela por um número.
Passo 3
Agora, se
é uma autofunção de ambos os operadores
e
, teríamos:
onde
e
são os respectivos autovalores.
Passo 4
Vamos calcular o produto
de duas maneiras diferentes:
- Aplicando
primeiro:
- Aplicando
primeiro:
Então,
, o que implica que
quando agem sobre
.
Passo 5
No entanto, o enunciado nos diz que
e
não comutam, ou seja,
. Isso cria uma contradição, porque assumimos que existe uma função
que é autofunção de ambos os operadores, o que levou à igualdade dos produtos. Portanto, nossa suposição inicial deve estar errada.
Resposta
Assim, concluímos que não é possível para uma autofunção de
ser também uma autofunção de
quando
e
não comutam.