(1 Ponto) Y0^0 é uma autofunção de L^2, Lx, Ly e Lz.

Passo 1

Então, a gente tem a questão que diz que é uma autofunção dos operadores , , e . Vamos entender o que isso significa e o que precisamos saber para resolver.
Conteúdo da matéria: Aqui estamos falando sobre funções angulares no contexto da mecânica quântica, especificamente as funções esféricas . Esses são autofunções dos operadores de momento angular, o que quer dizer que quando aplicamos esses operadores nessas funções, o resultado é apenas a função original multiplicada por algum número (o autovalor).
O que vamos precisar: Precisamos lembrar como os operadores de momento angular atuam nas funções esféricas e quais são os autovalores associados a cada operador quando aplicados a .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que representa as funções esféricas, que são soluções da equação de Schrödinger para sistemas com simetria esférica. Essas funções são etiquetadas por dois números quânticos: (momentum angular total) e (componente do momentum angular em uma direção, geralmente o eixo z).
No caso de , temos e . Isso significa que o momento angular total é zero.

Passo 3

Agora, vamos analisar o operador L^2 Yl^m = hbar^2 l(l + 1) Yl^m , que representa o quadrado do operador de momento angular total. Quando aplicamos L^2 Y0^0 = hbar^2 cdot 0 cdot (0 + 1) Y0^0 = 0 a , obtemos:
No nosso caso, , então:
Isso mostra que é uma autofunção de com autovalor zero.

Passo 4

Agora, vamos olhar para os operadores das componentes do momento angular: Lx Y0^0 = 0 , Ly Y0^0 = 0 e Lz Y0^0 = 0 .
Sabemos que para funções com , o momento angular total é zero, o que implica que todas as componentes individuais do momento angular também são zero. Matematicamente, isso significa que:
Portanto, também é uma autofunção para cada uma das componentes , e com autovalores zero.

Resposta

Concluímos que é de fato uma autofunção dos operadores , , e , todos com autovalor zero.

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