(1 Ponto)
é uma autofunção de
e
.
Passo 1
Então, a gente tem a questão que diz que
é uma autofunção dos operadores
,
,
e
. Vamos entender o que isso significa e o que precisamos saber para resolver.
Conteúdo da matéria: Aqui estamos falando sobre funções angulares no contexto da mecânica quântica, especificamente as funções esféricas
. Esses
são autofunções dos operadores de momento angular, o que quer dizer que quando aplicamos esses operadores nessas funções, o resultado é apenas a função original multiplicada por algum número (o autovalor).
O que vamos precisar: Precisamos lembrar como os operadores de momento angular atuam nas funções esféricas e quais são os autovalores associados a cada operador quando aplicados a
.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que
representa as funções esféricas, que são soluções da equação de Schrödinger para sistemas com simetria esférica. Essas funções são etiquetadas por dois números quânticos:
(momentum angular total) e
(componente do momentum angular em uma direção, geralmente o eixo z).
No caso de
, temos
e
. Isso significa que o momento angular total é zero.
Passo 3
Agora, vamos analisar o operador
, que representa o quadrado do operador de momento angular total. Quando aplicamos
a
, obtemos:
No nosso caso,
, então:
Isso mostra que
é uma autofunção de
com autovalor zero.
Passo 4
Agora, vamos olhar para os operadores das componentes do momento angular:
,
e
.
Sabemos que para funções com
, o momento angular total é zero, o que implica que todas as componentes individuais do momento angular também são zero. Matematicamente, isso significa que:
Portanto,
também é uma autofunção para cada uma das componentes
,
e
com autovalores zero.
Resposta
Concluímos que
é de fato uma autofunção dos operadores
,
,
e
, todos com autovalor zero.